数学问题,急急急急!!!!
如图,AB=BC=CA,CE交BA的延长线于E,并使角ACE=45度.延长BC至D,使BD=AE,连结DE.求角AED的度数,判断三角形CDE是不是等腰三角形,并说明理由...
如图,AB=BC=CA,CE交BA的延长线于E,并使角ACE=45度.延长BC至D,使BD=AE,连结DE.求角AED的度数,判断三角形CDE是不是等腰三角形,并说明理由.
图:就一个大三角形.EBD为大三角形的三个点,点A在BE之间,点C在BD之间,并连接AC和CE
注:怎么把图设为网站?地址栏在哪的?5楼的说什么,看不懂.理由说出来啊!!!! 展开
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【基础知识精讲】
本节主要内容是相似三角形的性质，也是本章的主要内容之一.本节是在学完相似三角形的判定基础上，进一步研究三角形的性质，以完成对相似三角形的定义，判定和性质的全面研究.
1.相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应成比例
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，都等于相似比.
(3)相似三角形的周长比等于相似比
以上各条可以概括为：相似三角形的对应线段之比等于相似比
(4)相似三角形面积之比等于相似三角形相似比的平方
2.相似三角形性质的应用
(1)可用来证明线段成比例(或等积线段)、角相等
(2)由相似三角形中某些已知元素，求未知元素(边、高、角平分线、中线、角)
(3)用来计算周长、面积等
(4)用来证明线段的平分(或面积比)
【重点难点解析】
例1 如图5.5-1，已知△ABC∽△A′B′C′，点D、D′分别是BC、B′C′的中点，AE⊥BC于E，A′E′⊥B′C′于E′，求证：△ADE∽△A′D′E′.
分析 要求△ADE与△A′D′E′相似，这两个三角形是直角三角形，由直角三角形相似判定定理，只需证明这两个直角三角形中，斜边和一直角边成比例即可.而斜边与直角边刚好分别是△ABC与△A′B′C′的中线和高(即两个相似三角形的对应线段)
证明：∵△ABC∽△A′B′C′ AD、A′D′分别是中线，AE、A′E′分别是高
∴ ＝ ＝ ∴Rt△ADE∽Rt△A′D′E′
例2 如图5.5-2 在△ABC中，EF‖BC，且EF＝ BC＝2cm，△AEF的周长为10cm，求梯形BCFE的周长.
分析 由EF＝ BC求可得 ＝ ，即相似比为 ，再由相似三角形性质求出△ABC的周长，两周长之差加上EF之长，即为梯形BCFE的周长.
解：∵EF＝ BC ∴ ＝
∵EF‖BC ∴△AEF∽△ABC
∴ ＝ ＝
∴ ＝
∴△ABC周长＝15(cm)
∴梯形BCFE的周长＝△ABC周长-△AEF周长+2EF
＝15-10+4＝9(cm)
例3 如图5.5-3，△ABC中，DE‖BC，S△ADE∶S△ABC＝4∶9，①求AE∶EC；②求S△ADE∶S△CDE.
分析 本题考查相似形三角形的性质及合比性质及三角形面积计算公式，由 ＝ ，求出 之比，再由比例有关性质求出AE∶EC，△ADE与△CDE等高，由三角形面积计算公式求出AE∶EC.
解：①∵DE‖BC ∴△ADE∽△ABC
∴ ＝ ∴ ＝
∴ ＝ ＝
即 ＝
②连结CD，过D作DH⊥AC交AC于H
＝ ＝ ＝
例4 如图5.5-4，已知：M是□ABCD的AB边的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的比是多少.
分析 这是一道综合性较高的考题，它考查了相似三角形的性质、面积计算及等积定理等.作DN⊥AB于N，过E作GF⊥AB于F.
∵M为AB中点
∴S△AMD＝S△DMB＝ S△ABD＝ S□ABCD
∵S△MBD＝S△MBC(同底等高的两个三角形面积相等)
∴S△MBD-S△MBE＝S△MBC-S△MBE，即S△DME＝S△CBE.
∵MB‖DC，∴△BEM∽△DEC
∴ ＝ ＝ ，从而 ＝
∵DN＝GF，∴ ＝
又∵ ＝ ＝ ＝
∴ ＝ ，即S△DME＝ S△MBD
∴S△DME＝ × S□ABCD＝ S□ABCD
∴S△DME+S△BMC＝ S□ABCD+ S□ABCD＝ S□ABCD
因此图5.5-4中阴影部分的面积与平行四边形面积的比是 .
例5 如图5.5-5，将正方形ABCD的边BC延长到E，使CE＝AC，AE与DC相交于F点，求CE∶FC的值.
分析 这是考查应用相似三角形性质解题能力的考题.设正方形ABCD的边长为a，则AC＝ a，AB＝a，BE＝ +1)a.
解：∵DC‖AB，∴△ECF∽△EBA， ＝ ，由此得 ＝ ＝ ＝ +1，即EC∶FC＝( +1)∶1
例6 如图5.5-6，□ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点F，已知BE∶EC＝3∶1，S△FBE＝18，求S△FDA.
分析 由题给条件易得△FBE∽△FDA.再由BE∶EC＝3∶1，易得BE∶AD＝3∶4，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此可求得S△FDA.
解：由□ABCD，得BE‖AD ∴△FBE∽△FDA
∵BE∶EC＝3∶1 ∴BE∶BC＝3∶4
又∵BC＝AD，∴BE∶AD＝3∶4
∴ ＝( )2，即 ＝( )2
∴S△FDA＝ ＝32.
【难点巧解点拨】
例1 如图5.5-7，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm,AC＝6cm，以C为圆心，CA为半径画弧交AB于D，那么AD的长是多少?
分析 本题是综合性较高的试题，考查的知识点有相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等.要求AD，我们连结CD后发现△CAD是等腰三角形，要求的是等腰三角形的底边的长.所以想到作CE⊥AB于E，则AE＝ AD，若能求得AE的长度，问题就解决了.为此，只要证明△AEC∽△ABC问题就可以解决了.
解：作CE⊥AB于E，连结CD.
∵CA＝CD
∴AE＝ AD，即AD＝2AE
由已知条件及勾股定理求得AB＝10，
∵∠ACB＝∠AEC，∠A＝∠A
∴△AEC∽△ABC
∴ ＝
∴AC2＝AE·AB，即62＝AE×10
从而 AE＝3.6(cm)
∴AD＝7.2(cm)
例2 如图5.5-8，在△ABC中，DE‖BC，在AB上取一点F，使S△BFC＝S△ADE，求证：AD2＝AB·BF
证明：∵DE‖BC ∴△ADC∽△ABC
∴ ＝
∴S△ADE＝S△BFC ∵ ＝
而 ＝ ＝
∴ ＝ ∴ ＝BF 即AD2＝AB·BF
点拨：运用相似三角形的性质、三角形的面积计算公式，求比例式或乘积式是本题解决关键.
例3 如图5.5-9，矩形FGHN内接△ABC，F、G在BC上，N、H分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E，AD＝8cm，BC＝24cm，NF∶NH＝1∶2，求此矩形的面积.
解：∵NH‖BC ∴△ANH∽△ABC
又∵AE、AB分别为△ANH与△ABC的高
∴ ＝
设：NF＝x，则NH＝2x
AE＝AD-ED＝8-x
∴ ＝
解之得：x＝4.8
∴2X＝9.6
∴S矩形ABCD＝NH·NH＝9.6×4.8＝46.08(cm)2
点拨：运用相似三角形的性质得比例式，再通过量的转换将比例式的多个未知数转换成一个未知数，用代数法解决有关计算问题.是一种重要的解题方法.
【课本难题解答】
例1 如图5.5-10，矩形ABCD中，AB=a，BC＝b，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足，求证：DE＝ .(P248B.2)
分析 由于△ADE∽△MAB，可得AD∶AM＝DE∶AB，就将DE与a、b联系在一起.
证明：由矩形ABCD知，∠B＝90° AD‖BC
∴∠DAE＝∠AMB
∵DE⊥AM ∴∠DEA＝∠B＝90°
∴△ADE∽△MAB ∵ ＝
∵AD＝a，AB＝b，M为BC中点
∴AM＝ ＝ ＝
∴DE＝ ＝
【命题趋势分析】
本节中考热点是综合运用相似三角形判定、性质定理及其它几何知识.进行计算和证明，通常是证明比例线段、等积线段、求三角形的边长、面积等.
【典型热点考题】
例1 如图5.5-11，□ABCD中，AE∶EB＝1∶2，S△AEF＝6cm2，则S△CDF的值是( )
A.12cm2 B.24cm2 C.54cm2 D.15cm2
分析 与上例类似，但有些变化.由AE∶EB＝1∶2，得AE∶AB＝1∶3.
解：∵□ABCD中，AB＝CD，∴AE∶CD＝1∶3
∵AE‖CD，∴△AEF∽△CDF
∴ ＝( )2，
即 ＝( )2
∴S△CDF＝54(cm)2，故选C.
例2 如图5.5-12，在△ABC中，AB＝7，AD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的值.
分析 本题考查应用相似三角形基本性质的能力.
解：∵∠A为公共角 ∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC ∴ ＝ ，
即AC2＝AD·AB
∴AC＝
＝
＝2 (舍去负根).
例3 如图5.5-13，△ABC中，DE‖BC，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2，BC＝2 ，求DE的长.
分析 本题考查应用相似三角形性质来解决实际计算题的能力.
∵DE‖BC，∴△ADE∽△ABC.
要求DE的长，因BC的长已知，故只需求相似比 的值.由S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2可知S△ADE∶S△ABC＝1∶3.从相似三角形的面积比与相似比的关系不难求出相比.解题思路畅通.
解：∵S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2
∵S△ADE∶S△ABC＝1∶3
又∵DE‖BC，
∴△ADE∽△ABC.∴DE∶BC＝1∶
∵BC＝2 ∴DE＝ ＝2
例4 如图4.4-14，过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E，过点D作DM‖FC交AB于M.
(1)若S△AEF∶S四边形MDEF＝2∶3，求AE∶ED；
(2)求证：AE·FB＝2AF·ED.
分析 (1)这是综合能力测试题.题中有平行条件，必定能找到相似三角形.题中给出面积比，可以变换为相似三角形的面积比，有了面积比，就可求相似比，再变换，故(1)可解决.(2)要证等积式，可化成等比式，实际上是平行线分线段成比例式，故(2)可证.
解：(1)∵S△AEF∶S四边形MDEF＝2∶3
∴S△AEF∶S△ADM＝2∶5
∵DM‖CF ∴△AEF∽△ADM
∴ ＝
＝ ＝ ＝
故AE∶ED＝( +2)∶3
(2)证明：∵DM‖CF ∴ ＝
∴ ＝
∵D是BC的中点 ∴M是FB的中点即2FM＝FB
∴ ＝ ，即AE·FB＝2AF·ED
本周强化练习：
【同步达纲练习】
一、填空题
1.若相似三角形的对应边的比为1∶3，则它们的面积比为.
2.已知两个相似三角形的相似比是 ，那么它们的对应高的比是.
3.如图5.5-15，在△ABC和△BED中，若 ＝ ＝ ＝ ，且△ABC与△BED的周长之差为10cm，则△ABC的周长为cm.
图5.5-15 图5.5-16
4.两个相似三角形的相似比为2∶3，且面积和为13cm2，则它们的面积分别为.
5.如图5.5-16，已知C为线段AB上一点，△ACM和△BCN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，BM交CN于D，则△MCD与△BND的面积比为.
6.如果两个相似三角形对应高的比4∶5，那么它们的面积比为.
7.两个相似三角形的面积比为1∶9，那么它们的对应高的比是.
8.如图5.5-17，在△ABC中，DE‖BC， ＝ ，且S△ABC＝8cm2，那么S△ADE＝cm2
9.两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的面积比为.
10.如果两个相似三角形的对应边的比为4∶5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为cm和cm.
二、选择题
1.如图5.5-18，DE‖BC，且 ＝ ，那么△ADE与△ABC的面积的比S△ADE∶S△ABC＝( )
A.2∶5 B.2∶3 C.4∶9 D.4∶25
2.如图5.5-19，△ABC∽△ACD，相似比为2，则面积之比S△BDC∶S△DAC为( )
A.4∶1 B.3∶1 C.2∶1 D.1∶1
3.已知两个相似三角形的周长分别是8和6，则它们的面积比是( )
A.4∶3 B.18∶9 C.2∶ D. ∶
4.两个相似三角形的面积比为1∶2，则周长比为( )
A. ∶1 B.1∶ C.1∶4 D.4∶1
5.如图5.5-20，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，CD⊥AB于D，下列式错误的是( )
A.AC2＝AD·AB B.BC2＝BD·BA C.CD2＝AD·DB D.AB2＝AC·BC
6.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC＝a，AC＝b，若AB＝16，且CD＝6，a-b＝( )
A.±4 B.±8 C.8 D.4
7.具备下列条件的两个三角形一定全等的是( )
A.相似且对应中线比等于1 B.两边和其中一边对角相等
C.三个角对应相等 D.两边和第三边上的高对应相等
8.在正方形ABCD中，E为AB的中点，BF⊥CE于F，那么S△BFC∶S正方形ABCD等于( )
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶8
9.如图5.5-21，将△ABC的高AD三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积分别为S1、S2、S3，则S1∶S2∶S3等于( )
A.1∶2∶3 B.2∶3∶4 C.1∶3∶5 D.3∶5∶7
10.如图5.5-22，△ABC中，∠CBA＝90°，BD⊥AC于D，则下面关系式中错误的是( )
A.AB2＝AD·AC B.BD2＝AD·DC C.AB2＝AC2-BC2 D.AB2＝AC·BC
三、解答题
1.如图5.5-23，∠1＝∠2，∠B＝∠D，AB＝DE＝5，BC＝4.
(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求AD的长.
2.已知：如图5.5-24，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D.求证CD2＝AD·DB
3.如图5.5-25，□ABCD中，BC＝2CE，求：S△CEF∶S□ABCD.
4.如图5.5-26，已知ED⊥AB，AC⊥EB，D、C分别为垂足，G为DE上一点，且AG⊥BG，垂足为G.ED、AC交于F.求证：DG2＝DE·DF.
5.如图5.5-27，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG‖AB，BG分别交AD、AC于E、F，求证：BE2＝EF·EG.
【素质优化训练】
如图5.5-28，△ABC中，BC＝24，高AD＝12，矩形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另外两个顶点G、H分别在AC、AB上，且EF∶EH＝4∶3，求EF、EH的长.
【生活实际运用】
一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5米有一棵树，在河的对岸每隔50米有一根电线杆，在这岸高出岸边25米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树，求河宽.
【知识探究学习】
如图5.5-29，射击瞄准时，要求枪的标尺缺口上沿中央A、准星尖B和瞄准点C在一条直线上(上图)，这样才能命中目标.已知某种冲锋枪基线AB长38.5cm，如果射击距离AC＝100m，当准星尖在缺口内偏差BB′为1mm时，弹着偏差CC′是多少(BB′‖CC′)〔2〕?
参考答案
一、1.1∶9 2. 3.25 4.4cm2和9cm2 5.9∶4 6.16∶25 7
.1∶3 8.2 9.4∶9 10.8cm、10cm
二、1.D 2.B 3.B 4.B 5.D 6.B 7.A 8.C 9.C 10.D
三、1.①略 ②
2.证△ACD∽△CBD
3.1∶12
4.先证△ADF∽△EDB 再证△AGD∽△GBD
5.连EC，证△FEC∽△CEG
【素质优化训练】 EF＝9.6 EH＝7.2
【生活实际运用】 河宽37.5米
【知识探究学习】 弹着偏差CC′约为26.0cm
本节主要内容是相似三角形的性质，也是本章的主要内容之一.本节是在学完相似三角形的判定基础上，进一步研究三角形的性质，以完成对相似三角形的定义，判定和性质的全面研究.
1.相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应成比例
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，都等于相似比.
(3)相似三角形的周长比等于相似比
以上各条可以概括为：相似三角形的对应线段之比等于相似比
(4)相似三角形面积之比等于相似三角形相似比的平方
2.相似三角形性质的应用
(1)可用来证明线段成比例(或等积线段)、角相等
(2)由相似三角形中某些已知元素，求未知元素(边、高、角平分线、中线、角)
(3)用来计算周长、面积等
(4)用来证明线段的平分(或面积比)
【重点难点解析】
例1 如图5.5-1，已知△ABC∽△A′B′C′，点D、D′分别是BC、B′C′的中点，AE⊥BC于E，A′E′⊥B′C′于E′，求证：△ADE∽△A′D′E′.
分析 要求△ADE与△A′D′E′相似，这两个三角形是直角三角形，由直角三角形相似判定定理，只需证明这两个直角三角形中，斜边和一直角边成比例即可.而斜边与直角边刚好分别是△ABC与△A′B′C′的中线和高(即两个相似三角形的对应线段)
证明：∵△ABC∽△A′B′C′ AD、A′D′分别是中线，AE、A′E′分别是高
∴ ＝ ＝ ∴Rt△ADE∽Rt△A′D′E′
例2 如图5.5-2 在△ABC中，EF‖BC，且EF＝ BC＝2cm，△AEF的周长为10cm，求梯形BCFE的周长.
分析 由EF＝ BC求可得 ＝ ，即相似比为 ，再由相似三角形性质求出△ABC的周长，两周长之差加上EF之长，即为梯形BCFE的周长.
解：∵EF＝ BC ∴ ＝
∵EF‖BC ∴△AEF∽△ABC
∴ ＝ ＝
∴ ＝
∴△ABC周长＝15(cm)
∴梯形BCFE的周长＝△ABC周长-△AEF周长+2EF
＝15-10+4＝9(cm)
例3 如图5.5-3，△ABC中，DE‖BC，S△ADE∶S△ABC＝4∶9，①求AE∶EC；②求S△ADE∶S△CDE.
分析 本题考查相似形三角形的性质及合比性质及三角形面积计算公式，由 ＝ ，求出 之比，再由比例有关性质求出AE∶EC，△ADE与△CDE等高，由三角形面积计算公式求出AE∶EC.
解：①∵DE‖BC ∴△ADE∽△ABC
∴ ＝ ∴ ＝
∴ ＝ ＝
即 ＝
②连结CD，过D作DH⊥AC交AC于H
＝ ＝ ＝
例4 如图5.5-4，已知：M是□ABCD的AB边的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的比是多少.
分析 这是一道综合性较高的考题，它考查了相似三角形的性质、面积计算及等积定理等.作DN⊥AB于N，过E作GF⊥AB于F.
∵M为AB中点
∴S△AMD＝S△DMB＝ S△ABD＝ S□ABCD
∵S△MBD＝S△MBC(同底等高的两个三角形面积相等)
∴S△MBD-S△MBE＝S△MBC-S△MBE，即S△DME＝S△CBE.
∵MB‖DC，∴△BEM∽△DEC
∴ ＝ ＝ ，从而 ＝
∵DN＝GF，∴ ＝
又∵ ＝ ＝ ＝
∴ ＝ ，即S△DME＝ S△MBD
∴S△DME＝ × S□ABCD＝ S□ABCD
∴S△DME+S△BMC＝ S□ABCD+ S□ABCD＝ S□ABCD
因此图5.5-4中阴影部分的面积与平行四边形面积的比是 .
例5 如图5.5-5，将正方形ABCD的边BC延长到E，使CE＝AC，AE与DC相交于F点，求CE∶FC的值.
分析 这是考查应用相似三角形性质解题能力的考题.设正方形ABCD的边长为a，则AC＝ a，AB＝a，BE＝ +1)a.
解：∵DC‖AB，∴△ECF∽△EBA， ＝ ，由此得 ＝ ＝ ＝ +1，即EC∶FC＝( +1)∶1
例6 如图5.5-6，□ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点F，已知BE∶EC＝3∶1，S△FBE＝18，求S△FDA.
分析 由题给条件易得△FBE∽△FDA.再由BE∶EC＝3∶1，易得BE∶AD＝3∶4，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此可求得S△FDA.
解：由□ABCD，得BE‖AD ∴△FBE∽△FDA
∵BE∶EC＝3∶1 ∴BE∶BC＝3∶4
又∵BC＝AD，∴BE∶AD＝3∶4
∴ ＝( )2，即 ＝( )2
∴S△FDA＝ ＝32.
【难点巧解点拨】
例1 如图5.5-7，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm,AC＝6cm，以C为圆心，CA为半径画弧交AB于D，那么AD的长是多少?
分析 本题是综合性较高的试题，考查的知识点有相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等.要求AD，我们连结CD后发现△CAD是等腰三角形，要求的是等腰三角形的底边的长.所以想到作CE⊥AB于E，则AE＝ AD，若能求得AE的长度，问题就解决了.为此，只要证明△AEC∽△ABC问题就可以解决了.
解：作CE⊥AB于E，连结CD.
∵CA＝CD
∴AE＝ AD，即AD＝2AE
由已知条件及勾股定理求得AB＝10，
∵∠ACB＝∠AEC，∠A＝∠A
∴△AEC∽△ABC
∴ ＝
∴AC2＝AE·AB，即62＝AE×10
从而 AE＝3.6(cm)
∴AD＝7.2(cm)
例2 如图5.5-8，在△ABC中，DE‖BC，在AB上取一点F，使S△BFC＝S△ADE，求证：AD2＝AB·BF
证明：∵DE‖BC ∴△ADC∽△ABC
∴ ＝
∴S△ADE＝S△BFC ∵ ＝
而 ＝ ＝
∴ ＝ ∴ ＝BF 即AD2＝AB·BF
点拨：运用相似三角形的性质、三角形的面积计算公式，求比例式或乘积式是本题解决关键.
例3 如图5.5-9，矩形FGHN内接△ABC，F、G在BC上，N、H分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E，AD＝8cm，BC＝24cm，NF∶NH＝1∶2，求此矩形的面积.
解：∵NH‖BC ∴△ANH∽△ABC
又∵AE、AB分别为△ANH与△ABC的高
∴ ＝
设：NF＝x，则NH＝2x
AE＝AD-ED＝8-x
∴ ＝
解之得：x＝4.8
∴2X＝9.6
∴S矩形ABCD＝NH·NH＝9.6×4.8＝46.08(cm)2
点拨：运用相似三角形的性质得比例式，再通过量的转换将比例式的多个未知数转换成一个未知数，用代数法解决有关计算问题.是一种重要的解题方法.
【课本难题解答】
例1 如图5.5-10，矩形ABCD中，AB=a，BC＝b，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足，求证：DE＝ .(P248B.2)
分析 由于△ADE∽△MAB，可得AD∶AM＝DE∶AB，就将DE与a、b联系在一起.
证明：由矩形ABCD知，∠B＝90° AD‖BC
∴∠DAE＝∠AMB
∵DE⊥AM ∴∠DEA＝∠B＝90°
∴△ADE∽△MAB ∵ ＝
∵AD＝a，AB＝b，M为BC中点
∴AM＝ ＝ ＝
∴DE＝ ＝
【命题趋势分析】
本节中考热点是综合运用相似三角形判定、性质定理及其它几何知识.进行计算和证明，通常是证明比例线段、等积线段、求三角形的边长、面积等.
【典型热点考题】
例1 如图5.5-11，□ABCD中，AE∶EB＝1∶2，S△AEF＝6cm2，则S△CDF的值是( )
A.12cm2 B.24cm2 C.54cm2 D.15cm2
分析 与上例类似，但有些变化.由AE∶EB＝1∶2，得AE∶AB＝1∶3.
解：∵□ABCD中，AB＝CD，∴AE∶CD＝1∶3
∵AE‖CD，∴△AEF∽△CDF
∴ ＝( )2，
即 ＝( )2
∴S△CDF＝54(cm)2，故选C.
例2 如图5.5-12，在△ABC中，AB＝7，AD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的值.
分析 本题考查应用相似三角形基本性质的能力.
解：∵∠A为公共角 ∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC ∴ ＝ ，
即AC2＝AD·AB
∴AC＝
＝
＝2 (舍去负根).
例3 如图5.5-13，△ABC中，DE‖BC，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2，BC＝2 ，求DE的长.
分析 本题考查应用相似三角形性质来解决实际计算题的能力.
∵DE‖BC，∴△ADE∽△ABC.
要求DE的长，因BC的长已知，故只需求相似比 的值.由S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2可知S△ADE∶S△ABC＝1∶3.从相似三角形的面积比与相似比的关系不难求出相比.解题思路畅通.
解：∵S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2
∵S△ADE∶S△ABC＝1∶3
又∵DE‖BC，
∴△ADE∽△ABC.∴DE∶BC＝1∶
∵BC＝2 ∴DE＝ ＝2
例4 如图4.4-14，过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E，过点D作DM‖FC交AB于M.
(1)若S△AEF∶S四边形MDEF＝2∶3，求AE∶ED；
(2)求证：AE·FB＝2AF·ED.
分析 (1)这是综合能力测试题.题中有平行条件，必定能找到相似三角形.题中给出面积比，可以变换为相似三角形的面积比，有了面积比，就可求相似比，再变换，故(1)可解决.(2)要证等积式，可化成等比式，实际上是平行线分线段成比例式，故(2)可证.
解：(1)∵S△AEF∶S四边形MDEF＝2∶3
∴S△AEF∶S△ADM＝2∶5
∵DM‖CF ∴△AEF∽△ADM
∴ ＝
＝ ＝ ＝
故AE∶ED＝( +2)∶3
(2)证明：∵DM‖CF ∴ ＝
∴ ＝
∵D是BC的中点 ∴M是FB的中点即2FM＝FB
∴ ＝ ，即AE·FB＝2AF·ED
本周强化练习：
【同步达纲练习】
一、填空题
1.若相似三角形的对应边的比为1∶3，则它们的面积比为.
2.已知两个相似三角形的相似比是 ，那么它们的对应高的比是.
3.如图5.5-15，在△ABC和△BED中，若 ＝ ＝ ＝ ，且△ABC与△BED的周长之差为10cm，则△ABC的周长为cm.
图5.5-15 图5.5-16
4.两个相似三角形的相似比为2∶3，且面积和为13cm2，则它们的面积分别为.
5.如图5.5-16，已知C为线段AB上一点，△ACM和△BCN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，BM交CN于D，则△MCD与△BND的面积比为.
6.如果两个相似三角形对应高的比4∶5，那么它们的面积比为.
7.两个相似三角形的面积比为1∶9，那么它们的对应高的比是.
8.如图5.5-17，在△ABC中，DE‖BC， ＝ ，且S△ABC＝8cm2，那么S△ADE＝cm2
9.两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的面积比为.
10.如果两个相似三角形的对应边的比为4∶5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为cm和cm.
二、选择题
1.如图5.5-18，DE‖BC，且 ＝ ，那么△ADE与△ABC的面积的比S△ADE∶S△ABC＝( )
A.2∶5 B.2∶3 C.4∶9 D.4∶25
2.如图5.5-19，△ABC∽△ACD，相似比为2，则面积之比S△BDC∶S△DAC为( )
A.4∶1 B.3∶1 C.2∶1 D.1∶1
3.已知两个相似三角形的周长分别是8和6，则它们的面积比是( )
A.4∶3 B.18∶9 C.2∶ D. ∶
4.两个相似三角形的面积比为1∶2，则周长比为( )
A. ∶1 B.1∶ C.1∶4 D.4∶1
5.如图5.5-20，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，CD⊥AB于D，下列式错误的是( )
A.AC2＝AD·AB B.BC2＝BD·BA C.CD2＝AD·DB D.AB2＝AC·BC
6.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC＝a，AC＝b，若AB＝16，且CD＝6，a-b＝( )
A.±4 B.±8 C.8 D.4
7.具备下列条件的两个三角形一定全等的是( )
A.相似且对应中线比等于1 B.两边和其中一边对角相等
C.三个角对应相等 D.两边和第三边上的高对应相等
8.在正方形ABCD中，E为AB的中点，BF⊥CE于F，那么S△BFC∶S正方形ABCD等于( )
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶8
9.如图5.5-21，将△ABC的高AD三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积分别为S1、S2、S3，则S1∶S2∶S3等于( )
A.1∶2∶3 B.2∶3∶4 C.1∶3∶5 D.3∶5∶7
10.如图5.5-22，△ABC中，∠CBA＝90°，BD⊥AC于D，则下面关系式中错误的是( )
A.AB2＝AD·AC B.BD2＝AD·DC C.AB2＝AC2-BC2 D.AB2＝AC·BC
三、解答题
1.如图5.5-23，∠1＝∠2，∠B＝∠D，AB＝DE＝5，BC＝4.
(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求AD的长.
2.已知：如图5.5-24，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D.求证CD2＝AD·DB
3.如图5.5-25，□ABCD中，BC＝2CE，求：S△CEF∶S□ABCD.
4.如图5.5-26，已知ED⊥AB，AC⊥EB，D、C分别为垂足，G为DE上一点，且AG⊥BG，垂足为G.ED、AC交于F.求证：DG2＝DE·DF.
5.如图5.5-27，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG‖AB，BG分别交AD、AC于E、F，求证：BE2＝EF·EG.
【素质优化训练】
如图5.5-28，△ABC中，BC＝24，高AD＝12，矩形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另外两个顶点G、H分别在AC、AB上，且EF∶EH＝4∶3，求EF、EH的长.
【生活实际运用】
一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5米有一棵树，在河的对岸每隔50米有一根电线杆，在这岸高出岸边25米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树，求河宽.
【知识探究学习】
如图5.5-29，射击瞄准时，要求枪的标尺缺口上沿中央A、准星尖B和瞄准点C在一条直线上(上图)，这样才能命中目标.已知某种冲锋枪基线AB长38.5cm，如果射击距离AC＝100m，当准星尖在缺口内偏差BB′为1mm时，弹着偏差CC′是多少(BB′‖CC′)〔2〕?
参考答案
一、1.1∶9 2. 3.25 4.4cm2和9cm2 5.9∶4 6.16∶25 7
.1∶3 8.2 9.4∶9 10.8cm、10cm
二、1.D 2.B 3.B 4.B 5.D 6.B 7.A 8.C 9.C 10.D
三、1.①略 ②
2.证△ACD∽△CBD
3.1∶12
4.先证△ADF∽△EDB 再证△AGD∽△GBD
5.连EC，证△FEC∽△CEG
【素质优化训练】 EF＝9.6 EH＝7.2
【生活实际运用】 河宽37.5米
【知识探究学习】 弹着偏差CC′约为26.0cm
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解：过A点作AF平行于BD,且AF=BD.
连接FD,EF.
则：AFDB为平行四边形，
所以AB=DF
因为AB=BC=CA，所以三角形ABC为等边三角形，
故角ABC=角ACB=角BAC=60
所以角AFD=60,角EAC=180-60=120,
在三角形AEF中，因为AF=BD=AE,所以三角形AEF为等腰三角形，
所以角AEF=角AFE=(180-角EAF)/2=(180-60)/2=60,
所以三角形AEF为等边三角形，所以AE=EF=FA
在三角形AEC与三角形EFD中，
角EAC=角EFD=120,AE=EF,AC=DF.
所以三角形AEC与三角形EFD全等
所以角AEC=角DEF,CE=DE.
所以三角形CED是等腰三角形。
又在三角形BEC中，角EBC=60,角BCE=60+45=105,
所以角BEC=180-105-60=15,
所以角DEF=角AEC=15
所以角CED=60-15-15=30
所以角AED=角AEC+角CED=15+30=45
答：三角形CDE是等腰三角形，角AED的度数为45度
连接FD,EF.
则：AFDB为平行四边形，
所以AB=DF
因为AB=BC=CA，所以三角形ABC为等边三角形，
故角ABC=角ACB=角BAC=60
所以角AFD=60,角EAC=180-60=120,
在三角形AEF中，因为AF=BD=AE,所以三角形AEF为等腰三角形，
所以角AEF=角AFE=(180-角EAF)/2=(180-60)/2=60,
所以三角形AEF为等边三角形，所以AE=EF=FA
在三角形AEC与三角形EFD中，
角EAC=角EFD=120,AE=EF,AC=DF.
所以三角形AEC与三角形EFD全等
所以角AEC=角DEF,CE=DE.
所以三角形CED是等腰三角形。
又在三角形BEC中，角EBC=60,角BCE=60+45=105,
所以角BEC=180-105-60=15,
所以角DEF=角AEC=15
所以角CED=60-15-15=30
所以角AED=角AEC+角CED=15+30=45
答：三角形CDE是等腰三角形，角AED的度数为45度
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三角形ADE是等腰三角形
因为AB=AC，∠BAC=90°，所以∠ABC=∠ACB=45°
因为EC垂直于BC，所以∠ECA=45度
所以∠ECA=45度=∠ABC
又因为AB=AC
BD=CE
∠ECA=45度=∠ABC
所以三角形ABD
全等
三角形ACE
所以AD=AE
所以是等腰三角形
因为AB=AC，∠BAC=90°，所以∠ABC=∠ACB=45°
因为EC垂直于BC，所以∠ECA=45度
所以∠ECA=45度=∠ABC
又因为AB=AC
BD=CE
∠ECA=45度=∠ABC
所以三角形ABD
全等
三角形ACE
所以AD=AE
所以是等腰三角形
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△ABC是等腰直角三角形，则∠B=∠ACD=45°，AB=AC
又CE垂直于CD则∠ACE=45°
BD=CE
所以△ABD≌△ACE
AD=AE
则△ADE是等腰三角形
又∠BAD=∠CAE得∠BAC=∠DAE=90°
最后△ADE是等腰直角三角形
又CE垂直于CD则∠ACE=45°
BD=CE
所以△ABD≌△ACE
AD=AE
则△ADE是等腰三角形
又∠BAD=∠CAE得∠BAC=∠DAE=90°
最后△ADE是等腰直角三角形
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45度
是等腰三角形
解答：
延长CD到点F，使DF=AB，连接EF，这样BEF就形成一个正三角形（因为AE=BD，AB=DF，所以BE=BF。再加上角ABC=60度，所以三角形BEF是正三角形）。
然后可以看出三角形BCE和三角形FDE是完全对称的，就像左右手一样，也可以证明EC=ED。
然后不难算出角AEC=15度，那么角DEF也=15度，再加上角BEF=60度，就可以得到角AED=45度。
中间的思维可能有跳跃，没有图，见谅。
是等腰三角形
解答：
延长CD到点F，使DF=AB，连接EF，这样BEF就形成一个正三角形（因为AE=BD，AB=DF，所以BE=BF。再加上角ABC=60度，所以三角形BEF是正三角形）。
然后可以看出三角形BCE和三角形FDE是完全对称的，就像左右手一样，也可以证明EC=ED。
然后不难算出角AEC=15度，那么角DEF也=15度，再加上角BEF=60度，就可以得到角AED=45度。
中间的思维可能有跳跃，没有图，见谅。
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