Question

求微分方程y'=1/2+2y/x 满足初始条件y(1)=1的解

Answer 1

问：求微分方程y'=1/2+2y/x 满足初始条件y(1)=1的解

答：解：y'-(2y/x)=1/2；先求y'-2y/x=0的通解：分离变量得dy/y=(2/x)dx；积分之得lny=2lnx+lnc₁=ln(c₁x²)故得y=c₁x²；将c₁换成x的函数u，得y=ux²...........①对①取导数得：y'=u'x²+2ux.........②将①②代入原式得：u'x²=1/2；分离变量得du=(1/2x²)dx；积分之得u=∫(1/2x²)dx=(1/2)∫(1/x²)dx=-(1/2)(1/x)+c=-1/(2x)+c...........③将③代入①式即得原方程的通解为：y=[-1/(2x)+c]x²=cx²-(1/2)x代入初始条件y(1)=1,得c=3/2；故特解为：y=(1/2)(3x²-x)