Question

函数如何判断是否可导

Answer 1

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

一、导数与函数的性质：

1、若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
2、若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。
3、可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。

二、函数的性质：

1、函数有界性
设函数f（x）的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f（x）≤K1对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有上界，而K1称为函数f（x）在X上的一个上界。如果存在数K2，使得f（x）≥K2对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有下界，而K2称为函数f（x）在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f（x）|≤M对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f（x）在X上无界。
函数f（x）在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。
2、函数的单调性
设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调增加的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。