Question

如何求非齐次线性微分方程的通解？

Answer 1

非齐次线性微分方程的通解可以通过四步走的方法来求解：1.首先确定方程的线性无关解；2.然后求出方程的特解；3.把线性无关解和特解组合起来，求出一个通解；4.最后用常数变易法把通解简化成一般解，即为所求通解。

举个例子：求解以下非齐次线性微分方程的通解：
y'' + 3y' - 4y = 2e^x

• 首先我们需要将非齐次线性微分方程改为标准形式，即将所有项都移到左侧，常数项移到右侧

y'' + 3y' - 4y = 2e^x

• 接下来我们使用牛顿-拉夫逊迭代法来解决。首先猜测一个初始解 y1(x) , 并用这个解来估计 y2(x) . 不断迭代这个过程直到满足精度要求为止
  y1(x) = c1e^(ax) + c2e^(bx)
  y2(x) = c1e^(ax) + c2e^(bx) + e^x

• 将移项后的非齐次线性微分方程带入，得到一个方程组：
  y'' + 3y' - 4y = 2e^x
  将y1(x) 和 y2(x) 代入得到两个方程
  a^2 + 3a - 4 = 0
  a^2 + 3a - 4 + b^2 + 3b - 4 = 2

• 解方程组得到 a = -1， b = -2

• 带回得到通解： y(x) = (c1 - e^x)e^(-x) + (c2 - e^(-2x))e^(-2x)

通过这个例子可以看出，求解非齐次线性微分方程的通解是一个复杂的过程，需要运用多种方法和技巧。还有其他的求解方法像酉矩阵法，需要考虑具体的特点来选择合适的方法.

Answer 2

解：微分方程为xy"+(x+4)y'+3y=4x+4，假设微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=xʳ，将特解带入方程，有x(xʳ)"+(x+4)(xʳ)'+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+r(x+4)xʳ⁻¹+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+4rxʳ⁻¹+rxʳ+3xʳ=0，(r²+3r)+(r+3)x=0，(r+3)(r+x)=0，得：r=-3，则微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=x⁻³，再设微分方程的通解为y=x⁻³u，有x(x⁻³u)"+(x+4)(x⁻³u)'+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-3x⁻⁴u'-3x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-6x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x²u"-6xu'+12u+(x+4)(xu'-3u)+3xu=0，x²u"+(x²-2x)u'=0，u"×eˣ/x²+eˣ(1/x²-2/x³)u'=0，(u'eˣ/x²)'=0，u'eˣ/x²=a(a为任意常数)，u'=ax²e⁻ˣ，u=-ax²e⁻ˣ-2axe⁻ˣ-2ae⁻ˣ+c(为任意常数)，微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³(c为任意常数)；设原微分方程的特解为y=px+q，有p(x+4)+3(px+q)=4x+4，4px+4p+3q=4x+4，有4p=4，4p+3q=4，得：p=1，q=0，微分方程的特解为y=x，通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³+x