Question

5.已知 m,n(0,+) 且 (m+n)/2=5-1/m-3/n 则 4/m-10/n 的最小值为

Answer 1

问：5.已知 m,n(0,+) 且 (m+n)/2=5-1/m-3/n 则 4/m-10/n 的最小值为

答：亲，您好。首先，将已知式子中的分式部分移项，得到：(m+n)/2 + 1/m + 3/n = 5将左侧的式子化为通分式，得到：(mn + 2n + 6m)/(2mn) = 5移项整理，得到：2mn = mn + 2n + 6m化简得到：mn - 6m - 2n = 0接下来，我们要求出 4/m - 10/n 的最小值，可以对其进行变形，得到：4/m - 10/n = (4n - 10m)/(mn)代入上式，化简得到：4/m - 10/n = (4n - 10m)/(6m + 2n)因为 m 和 n 都是正数，所以 6m + 2n > 0。所以我们只需要让分子 4n - 10m 最小，即可使得 4/m - 10/n 的值最小。通过将原式 mn - 6m - 2n = 0 转化为 n = (6m)/(m+2)，将其代入 4n - 10m，得到：4n - 10m = 4(6m/(m+2)) - 10m = (8m - 24)/(m + 2)将其代入原式得到：4/m - 10/n = (8m - 24)/(m+2) * 1/m = (8m - 24)/(m(m+2))为了使 (8m - 24)/(m+2) 最小，可以对其求导，得到：d/dm [(8m - 24)/(m+2)] = (8m + 8)/(m+2)^2令其等于 0，得到 m = 1，此时 (8m - 24)/(m+2) 最小。将 m = 1 代入 4/m - 10/n，得到：4/m - 10/n = (8m - 24)/(m+2) * 1/m = (8 - 24)/(1+2) = -8所以 4/m - 10/n 的最小值为 -8