Question

3.证明方程 x^3+2x+1=0 在区间 (-1,1) 内有且只有一个实根.

Answer 1

问：3.证明方程 x^3+2x+1=0 在区间 (-1,1) 内有且只有一个实根.

答：亲！您好！要证明方程 x^3 + 2x + 1 = 0 在区间 (-1,1) 内有且只有一个实根，可以使用如下的方法：首先，我们证明方程在该区间内至少有一个实根。由于方程是一个三次方程，而且 x^3 和 2x 的符号在整个实数轴上都是相反的，根据实数根的性质，至少有一个实根存在于区间 (-1, 1)。接下来，我们需要证明这个方程没有多余的根。为此，我们可以利用导数的性质。计算方程的导数：3x^2 + 2。当 x > 0 时，导数恒为正数；当 x < 0 时，导数恒为负数。而方程在 x = 0 处的值为 1，因此导数不为0。根据综合中值定理，如果函数在一个区间内连续，并且导数在该区间内不为零，则该函数在该区间内至多只有一个实根。因此，在区间 (-1,1) 内，方程 x^3 + 2x + 1 = 0 最多只有一个实根。综上所述，方程 x^3 + 2x + 1 = 0 在区间 (-1,1) 内有且只有一个实根。