Question

对集合A上的二元关系S,若S是自反,对称的,请证明S的传递闭包为等价关系

Answer 1

问：对集合A上的二元关系S,若S是自反,对称的,请证明S的传递闭包为等价关系

答：首先证明传递闭包是传递的。设集合A上的二元关系S是自反、对称的，设a, b, c ∈ A，若(a, b)∈S+且(b, c)∈S+，则存在序列d1, d2, ..., dn∈A，满足d1=a，dn=c，并且对于任意的1≤i

答：同理，由(b, a)∈S+可知(b, a)∈S。因此，S+是对称关系。综上所述，S+是自反、对称和传递的，因此是集合A上的等价关系。

问：能否使用符号表示

答：可以，下面是使用符号表示的证明：首先证明传递闭包是传递的。设集合A上的二元关系S是自反、对称的，对于任意的a, b, c ∈ A，若(a, b)∈S+且(b, c)∈S+，则存在序列d1, d2, ..., dn∈A，满足d1=a，dn=c，并且对于任意的1≤i

答：接下来证明S+是等价关系。根据证明传递闭包是传递的，得到S+是传递关系。由自反性可知，对于任意的a ∈ A，有(a, a) ∈ S，因此(a, a) ∈ S+，即S+是自反的。由对称性可知，若(a, b) ∈ S+，则存在序列d1, d2, ..., dn ∈ A，满足d1 = a，dn = b，并且对于任意的1≤i