Question

求xy'=lnx的通解

Answer 1

问：求xy'=lnx的通解

答：亲你好，以下为问题的解答： 要求解微分方程xy' = ln(x)的通解，我们可以使用分离变量的方法。 首先，将方程两边除以ln(x)，得到：y' / ln(x) = 1/x 接下来，我们对方程两边进行积分： ∫(y' / ln(x)) dx = ∫(1/x) dx 对左侧积分可以使用分部积分法，令 u = y，v' = 1/ln(x)，则 du = y' dx，v = ∫(1/ln(x)) dx。 将上述结果代入积分中，得到： ∫(du / v') = ∫(1/x) dx ∫(y dx / ln(x)) = ∫(1/x) dx 接着，对右侧积分使用ln(x)的定义进行计算： ∫(y dx / ln(x)) = ln|x| + C1 其中C1是积分常数。 现在，我们可以重新写方程为： ln|x| + C1 = ∫(1/x) dx 接下来，对右侧积分再次进行计算，得到： ln|x| + C1 = ln|x| + C2 其中C2是另一个积分常数。 化简上述方程，我们得到： ln|x| + C1 = ln|x| + C2 C1 = C2 将C1和C2合并为一个新的常数C，得到最终的通解： ln|x| = C 这就是微分方程xy' = ln(x)的通解。