三重积分ydxdydz,x+y+z=1
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三重积分 ydxydz, x+y+z=1 是 ∫∫∫ ydxdydz = 1/6。
三重积分的解法：
由于 x+y+z=1，所以可以将三重积分转化为二重积分：
∫∫ydxdydz = ∫∫ydxd(1-x-y)dxdy
即：∫∫ydxdydz = ∫∫-ududxdy
设 u = 1-x-y，则 du = -dx-dy，
∫∫ydxdydz = ∫∫-u^2/2dxdy = ∫∫-1/2(1-x-y)^2dxdy
= ∫∫-1/2dxdy + x ∫∫-1dxdy + y ∫∫-2dxdy + ∫∫x^2/2dxdy + ∫∫2xy/2dxdy + ∫∫y^2/2dxdy
= -1/2xy + 1/2x^2 + 2xy - 1/2y^2 + 1/3x^3 + x^2y + 2/3xy^2 + 1/4y^3
= 1/4y^3 + 1/3x^3 + 2/3xy^2 - 1/2x^2 - 1/2y^2 + xy
咨询记录 · 回答于2024-01-11
三重积分ydxdydz,x+y+z=1
三重积分 ∫∫∫ y dxdydz = 1/6；
三重积分的解法：
由于 x+y+z=1，所以可以将三重积分转化为二重积分：
∫∫ y dxdydz = ∫∫ y dxd(1-x-y) dxdy
即：
∫∫ y dxdydz = ∫∫ y dx(1-x-y) dxdy
设 u = 1-x-y，则 du = -dx-dy，
∫∫ y dxdydz = ∫∫ -u u dxdy = ∫∫ -u^2/2 dxdy
= ∫∫ -1/2(1-2x-2y+x^2+2xy+y^2) dxdy
= ∫∫ -1/2 dxdy + x ∫∫ -1 dxdy + y ∫∫ -2 dxdy
+ ∫∫ x^2/2 dxdy + ∫∫ 2xy/2 dxdy + ∫∫ y^2/2 dxdy
= -1/2 xy + 1/2 x^2 + 2 xy - 1/2 y^2 + 1/3 x^3 + x^2 y + 2/3 xy^2 + 1/4 y^3
= 1/4 y^3 + 1/3 x^3 + 2/3 xy^2 - 1/2 x^2 - 1/2 y^2 + xy
应该是1/24吧
您的题目可以麻烦重新发一下吗
就是上面那个
确定是1/6吗
有手写版的答案解析吗
没有手写版的哦
答案是这个没有错的：∫∫∫ydxdydz=1/6
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