Question

实对称矩阵各行元素之和为3说明

Answer 1

问：实对称矩阵各行元素之和为3说明

答：实对称矩阵是指矩阵的转置矩阵与其本身相等的矩阵。因此，对于实对称矩阵而言，矩阵中任意一个元素都有一个对称元素与之对应，即它们在矩阵的对角线两侧。 假设矩阵为$n \times n$的实对称矩阵A，那么对于任意一行$i$，其元素之和为：$\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}$。同时，在矩阵的对角线上，所有元素都是对称的，因此A的对角线元素之和也为：$\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ii}$。 由于矩阵A是实对称矩阵，根据对称矩阵的定义，有：$A^{T} = A$，即矩阵A的任意一个元素$a(i,j)$都等于其对应的元素$a(j,i)$，因此A中所有行的元素之和都等于对应的列元素之和：$\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij} = \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ji}$。 将上式代入第一式，则实对称矩阵A的所有行元素之和等于其对角线元素之和的两倍，即：$2\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ii} = 3\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}$。移项得：$\sum\limit"