设f(x),g(x)∈F[x],若(x*2+x+1)|(f(x*3+xg(x*3),证明f(-1)=0,g(-1)=0
1个回答
关注
![]()
展开全部
(x^2+x+1)l[x^3f(x^3)+xg(x^3)]
不妨设
P(x)=x^3f(x^3)+xg(x^3)=Q(x)(x~2+x+1)注意到，x1=e^(2ni/3)、x2=e^(4ri/3)均为（x^2+X+1)的根。
则x1=e^(2μi/3)、x2=e^(4ri/3)均为P(x)的根。再有，×1^3=×2^3=1
那么将x1、x2代入P(x),得到下述两个方程：f(1)+e^(2ni/3)g(1)=0
f(1)+e^(4μi/3)g(1)=0
解这个方程组得到：
f(-1)=g(-1)=0
于是，1^3f(1^3)+1g(1^3)=f(1)+g(1)=0
也就是说，x3=1是P(x)=x^3f(x^3)+xg(x^3)的根。
因而P(x)至少有x1=e^(2μi/3)、x2=e^(4μi/3)、x3=1这三个根，
因而P(x)=[x-e^(2μi/3)][x-e^(4ni/3)](x-1)R(x),R
(x)为多项式。
合并，则P(x)=(x~3-1)R(x)
证毕。
咨询记录 · 回答于2021-10-25
设f(x),g(x)∈F[x],若(x*2+x+1)|(f(x*3+xg(x*3),证明f(-1)=0,g(-1)=0
您好，很高兴为您解答！
您的题目没发完整，麻烦您把题目完整的描述给我，我也好方便为您解答。
最好拍照给我看看，这样我看得清楚点
(x^2+x+1)l[x^3f(x^3)+xg(x^3)]不妨设P(x)=x^3f(x^3)+xg(x^3)=Q(x)(x~2+x+1)注意到，x1=e^(2ni/3)、x2=e^(4ri/3)均为（x^2+X+1)的根。则x1=e^(2μi/3)、x2=e^(4ri/3)均为P(x)的根。再有，×1^3=×2^3=1那么将x1、x2代入P(x),得到下述两个方程：f(1)+e^(2ni/3)g(1)=0f(1)+e^(4μi/3)g(1)=0解这个方程组得到：f(-1)=g(-1)=0于是，1^3f(1^3)+1g(1^3)=f(1)+g(1)=0也就是说，x3=1是P(x)=x^3f(x^3)+xg(x^3)的根。因而P(x)至少有x1=e^(2μi/3)、x2=e^(4μi/3)、x3=1这三个根，因而P(x)=[x-e^(2μi/3)][x-e^(4ni/3)](x-1)R(x),R(x)为多项式。合并，则P(x)=(x~3-1)R(x)证毕。
已赞过
评论
收起
你对这个回答的评价是？