Question

椭圆C:a²分之x²+b²分之y²=1(a＞b＞)的离心率为2分之根号三，且过点A(2，2分之

Answer 1

问：椭圆C:a²分之x²+b²分之y²=1(a＞b＞)的离心率为2分之根号三，且过点A(2，2分之

答：你好亲 ~ 这道题由我来给您回答， 打字需要一点时间，我将在5分钟内给您最详细的回答。还请您耐心等待一下喔~

答：（1）因为a>b>0，所以焦点在x轴上e=c/a=√(1-b^2/a^2)=√3/2 得出：a=2b所以c=√3/2*a=√3b根据题意，直线L：y=x±c因为椭圆为中心对称图形，所以直线L过左焦点还是右焦点，对结果无影响所以不妨设直线L：y=x+c=x+√3bx^2/4b^2+(x+√3b)^2/b^2=1x^2+4(x^2+2√3bx+3b^2)=4b^25x^2+8√3bx+8b^2=0设A(x1,x1+√3b)，B(x2,x2+√3b)|AB|^2=(x1-x2)^2+(x1+√3b-x2-√3b)^2=2(x1-x2)^2=2[(x1+x2)^2-4x1x2]=2*[(-8√3b/5)^2-4*(8b^2/5)]=64b^2/25=64所以b=5 a=2b=10所以椭圆方程：x^2/100+y^2/25=1（2）x^2+8√3x+40=0(x+4√3)^2=8x+4√3=±2√2x1=-4√3+2√2 x2=-4√3-2√2|OA|=√[x1^2+(x1+5√3)^2]=√(8+48-16√6+8+3+4√6)=√(67-12√6)|OB|=√[x2^2+(x2+5√3)^2]=√(8+48+16√6+3+8-4√6)=√(67+12√6)根据椭圆的参数方程，设M(10cost,5sint) 0<=t<2π|OM|=√(100cos^2t+25sin^2t)=√(25+75cos^2t)=5√(1+3cos^2t)因为|OM|=a|OA|+b|OB|5√(1+3cos^2t)=a√(67-12√6)+b√(67+12√6)>=2√(ab*5√145) 当且仅当a√(67-12√6)=b√(67+12√6)时，等号成立2√(ab*5√145)<=5√(1+3cos^2t)<=1020ab√145<=100ab√145<=5ab<=(√145)/29所以ab的最大值为(√145)/29

问：椭圆C:a²分之x²+b²分之y²=1(a＞b＞)的离心率为2分之根号三，且过点A(2，2分之根号二×b)求C的方程

问：原题是这个您再做一下

答：∵AB的中点是（2,1）,斜率k=-1 2 ,∴AB的方程为：y=-1 2 x 2,由（1）得a2=4b2,∴椭圆方程为x2 4y2-4b2=0,将直线AB的方程y=-1 2 x 2,代入椭圆方程x2 4y2-4b2=0,得：x2-4x 8-2b2=0,∴x1 x2=4,x1x2=8-2b2,|AB|= (1 1 4 )[16−4(8−2b2)] = 10 ,解得b2=3,∴a2=12,故椭圆的方程为：x2 12 y2 3 ＝1．