Question

求幂级数(3x+1)^n+1/(n+1)的和函数

Answer 1

问：求幂级数(3x+1)^n+1/(n+1)的和函数

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答：首先设和函数为s(x)，对它求区间(0,x)上的定积分得到∫s(x)dx = sum((n+3)x^(n+1))， n=1，2，...无穷大=1/x sum((n+3)x^(n+2))令t(x)=sum((n+3)x^(n+2))∫t(x)dx = sum(x^(n+3))，n=1，2，...无穷大=x^4/(1-x)所以t(x)=d/dx∫t(x)dx = dx^4/(1-x)/dx= (4x^3(1-x) +x^4)/(1-x)^2=(4x^3 -3x^4)/(1-x)^2∫s(x)dx =1/x t(x)= (4x^2 -3x^3)/(1-x)^2然后在对上式子求导数得到：s(x) = d(4x^2 -3x^3)/(1-x)^2/dx

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