Question

证明数域p上任意一个n维线性空间都与pn同构

Answer 1

问：证明数域p上任意一个n维线性空间都与pn同构

答：设V为一个数域p上的n维线性空间。由有限域上向量空间的一般性质可知，V同构于Fp[x]/(f(x))，其中f(x)是x的不可约多项式，且f(x)的次数为n。考虑Fpn，它是一个n维向量空间。设α为Fpn中的一个原根，则Fpn可以表示为Fp[α]/(g(α))，其中g(α)是α在Fp[x]中的极小多项式，且g(α)的次数为n。由于α是原根，所以g(α)是不可约多项式，且它与f(x)的次数均为n。根据有限域上向量空间的一般性质，Fp[α]/(g(α))与Fp[x]/(f(x))同构。因此，V与Fpn同构。

答：亲这是您需要的答案 亲

问：请问一下，什么是极小多项式啊

答：好的 亲

答：亲 ，极小多项式是一个多项式，使得其包含了所给矩阵 $A$ 的所有代数性质，并且是次数最小的不可约多项式。

答：给定一个 $n$ 次方阵 $A$，其极小多项式是 $f(x)$，满足以下条件：1. $f(x)$ 是 $A$ 的一个最高次数为 $n$ 的首一多项式；2. $f(x)$ 的系数皆为整数；3. $f(A) = 0$，且 $f(x)$ 不可约。

答：这是例子 亲