椭圆焦点在x轴上，长轴长为4,离心率为二分之根号三。 求已知过椭圆下顶点的直线与椭圆相交弦长为五分之八倍根号二，求直线L的值。
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亲！
您的问题是关于椭圆和直线的交点问题。
首先，我们设椭圆的标准方程为：
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4\sqrt{3}} = 1$
然后，我们设直线的方程为：
$y = mx + b$
由于椭圆的焦点在X轴上，当y=0时，直线与椭圆相交。此时：
$0 = mx + b$
所以：
$b = -mx$
替换到椭圆方程中，我们得到：
$\frac{x^2}{4} + \frac{m^2x^2}{4\sqrt{3}} + \frac{m^2x^2}{4\sqrt{3}} = 1$
化简后得到：
$\frac{x^2}{4} + \frac{m^2x^2}{2\sqrt{3}} = 1$
令：
$A = \frac{1}{4}, B = \frac{m^2}{2\sqrt{3}}$
化简可得：
$Ax^2 + Bx^2 = 1$
令：
$C = A + B = \frac{1}{4} + \frac{m^2}{2\sqrt{3}}$
上式可以变形为：
$Cx^2 = 1$
即：
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{C}}$
根据题意，弦长等于$\frac{5\sqrt{2}}{8}$：
$\frac{5\sqrt{2}}{8} = \frac{1}{\sqrt{C}} \cdot 2\sqrt{A+B}$
化简后得到：
$5\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{m^2}{2\sqrt{3}}} = 8$
解得：
$m = \sqrt{6\sqrt{3}-3}$
所以，直线L的方程为：
$y = \sqrt{6\sqrt{3}-3}x - \sqrt{6\sqrt{3}-3}x$
咨询记录 · 回答于2024-01-06
求已知过椭圆下顶点的直线与椭圆相交弦长为五分之八倍根号二，求直线L的值。
您的问题是关于椭圆和直线的交点问题。
首先，我们设椭圆的标准方程为：
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4\sqrt{3}} = 1$
然后，我们设直线的方程为：
$y = mx + b$
由于椭圆的焦点在X轴上，当y=0时，直线与椭圆相交。此时：
$0 = mx + b$
所以：
$b = -mx$
替换到椭圆方程中，我们得到：
$\frac{x^2}{4} + \frac{m^2x^2}{4\sqrt{3}} + \frac{m^2x^2}{4\sqrt{3}} = 1$
化简后得到：
$\frac{x^2}{4} + \frac{m^2x^2}{2\sqrt{3}} = 1$
令：
$A = \frac{1}{4}, B = \frac{m^2}{2\sqrt{3}}$
化简可得：
$Ax^2 + Bx^2 = 1$
令：
$C = A + B = \frac{1}{4} + \frac{m^2}{2\sqrt{3}}$
上式可以变形为：
$Cx^2 = 1$
即：
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{C}}$
根据题意，弦长等于$\frac{5\sqrt{2}}{8}$：
$\frac{5\sqrt{2}}{8} = \frac{1}{\sqrt{C}} \cdot 2\sqrt{A+B}$
化简后得到：
$5\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{m^2}{2\sqrt{3}}} = 8$
解得：
$m = \sqrt{6\sqrt{3}-3}$
所以，直线L的方程为：
$y = \sqrt{6\sqrt{3}-3}x - \sqrt{6\sqrt{3}-3}x$【摘要】
椭圆焦点在x轴上，长轴长为4,离心率为二分之根号三。
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