Question

求下列矩阵的Jordan标准形JA和矩阵P，使P-1AP=JA.

Answer 1

问：求下列矩阵的Jordan标准形JA和矩阵P，使P-1AP=JA.

问：第12题的2， 3题，麻烦您写下来，拍照发给我，非常感谢

答：（2）首先，我们需要求出矩阵A的特征值和特征向量，即解方程：|A-λI| = 0可得矩阵A的三个特征值为λ1=3，λ2=3，λ3=-4，对应的特征向量为：v1=(1,-1,2)T，v2=(-1,0,1)T，v3=(1,-3,3)T然后，我们将特征向量按列组成矩阵P：P = [v1,v2,v3] = [1,-1,1;-1,0,-3;2,1,3]由于矩阵A有两个相同的特征值3，因此我们需要进一步求出矩阵A关于特征值3的Jordan标准形。对于特征值3，我们需要求解矩阵(A-3I)的零空间和秩，以确定Jordan块的大小和数量。具体来说，计算(A-3I)的秩为2，其零空间为：N(A-3I) = span{v1, v2} = {(x,y,z)|x = y - z, z = c}取c=0，则得到N(A-3I)中的一个向量组基础解系：u1 = (1,0,1)T，u2 = (1,1,0)T进一步计算Jordan块的大小和数量，得到Jordan标准形为：JA = [3,1,0;0,3,0;0,0,-4]因此，我们可以得出矩阵P的逆矩阵，从而得到P-1AP的值：P-1 = [1/2,1/2,-1/2;-1/2,0,1/2;1,1,1]/6P-1AP = JA = [3,1,0;0,3,0;0,0,-4]因此，矩阵A的Jordan标准形为JA = [3,1,0;0,3,0;0,0,-4]，相应的矩阵P为：P = [1,-1,1;-1,0,-3;2,1,3]使得P-1AP=JA。

问：亲，还有第三题

答：我知道

答：不用催

答：催什么

问：666，求特征值不是令兰姆达I-A等于零，你求的啥玩意，就这还装逼，不用你求，真垃圾

答：（3）首先，我们需要求出矩阵A的特征值和特征向量，即解方程：|A-λI| = 0根据给出的矩阵，我们得到特征多项式：|A-λI| = |(3-λ) -4 1 0 0 0|　　　　　　　|1 ( -1-λ) 0 0 0 0|　　　　　　　|0 0 (0-λ) 0 0 0|　　　　　　　|0 0 0 (0-λ) 0 0|　　　　　　　|6 -2 2 0 (1-λ) 0|　　　　　　　|0 1 -1 0 2 (0-λ)| = λ^4(λ-2)^2因此，A的特征值为：λ1=0, λ2=0, λ3=0, λ4=0, λ5=2, λ6=2然后，我们需要计算每个特征值对应的特征向量。当λ=0时，我们需要解方程组(A-0I)x=0，即：(3-0)x1 - 4x2 + x3 = 0x1 - (1-0)x2 = 0(6-0)x1 - 2x2 + 2x3 = 0x4 = 0x5 + (-1)x6 = 0解得基础解系为：v1 = (1,1,0,0,1,1)T，v2 = (-1,0,1,0,1,0)T，v3 = (-1,-1,0,1,0,1)T当λ=2时，我们需要解方程组(A-2I)x=0，即：(3-2)x1 - 4x2 + x3 = 0x1 - (1-2)x2 = 0(6-2)x1 - 2x2 + 2x3 = 0x4 + (-1)x5 + 2x6 = 0解得基础解系为：v4 = (1,2,1,-1,0,1)T将4个特征向量按列组成矩阵P，可以得到：P = [v1, v2, v3, v4] = [1,-1,-1,1;1,0,-1,2;0,1,0,1;0,0,1,-1;1,1,0,0;1,0,1,1]由于矩阵A有四个特征值0，因此我们需要进一步求出矩阵A关于特征值0的Jordan标准形。对于特征值0，我们需要求解矩阵(A-0I)的零空间和秩，以确定Jordan块的大小和数量。具体来说，计算(A-0I)的秩为3，其零空间为：N(A-0I) = span{v1, v2, v3} = {(x,y,z,w,x+y+z,w-x+z)|x,y,z,w∈R}取c=1，则得到N(A-0I)中的一个向量组基础解系：

答：u1 = (1,0,0,0,1,1)T，u2 = (0,1,0,0,1,0)T，u3 = (0,0,1,0,02 = 1)T进一步计算Jordan块的大小和数量，得到Jordan标准形为：JA = [0,1,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0]因此，我们可以得出矩阵P的逆矩阵，从而得到P-1AP的值：P-1 = [1/2,-1/2,1/2,0,0,1/2;1/2,0,1/2,0,0,0;1/2,-1/2,-1/2,0,0,0;-3/2,3/2,-1/2,0,0,-1/2;1/2,-1/2,1/2,0,0,0;1,1,1,0,0,-1]/2P-1AP = JA = [0,1,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0]因此，矩阵A的Jordan标准形为JA = [0,1,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0]，相应的矩阵P为：P = [1,-1,-1,1,0,1;1,0,-1,2,0,0;0,1,0,1,0,-1;0,0,1,-1,0,1;1,1,0,0,0,0;1,0,1,1,0,-1]使得P-1AP=JA。