Question

24.证明:当 x>0 时, x^k-kx>=1-k(k>1).

Answer 1

问：24.证明:当 x>0 时, x^k-kx>=1-k(k>1).

答：当 x>0 时，我们有 x^k > 0 以及 kx > 0，所以 x^k-kx > 0，得到 x^k-kx≥1-k哦。又当 x=1 时，有 x^k-kx=k-1≥0，即 k≥1。所以，在 x>0 且 k≥1 时，有 x^k-kx≥1-k。该不等式也可以用归纳法进行证明。当 k=2 时，原式为 x^2-2x = (x-1)^2-1 ≥ -1，成立。假设当 k=m 时，不等式成立，则当 k=m+1 时，有x^m+1-(m+1)x = x(x^m-mx)+(x^m-m) ≥ x^m-m ≥ 1-m，由此可以得到当 k≥1 时，不等式成立。所以，当 x>0 且 k≥1 时，有 x^k-kx≥1-k。