Question

已知P,Q分别为直线2x+3+y+6=0和圆C:x2+y2-2+x-+4+y+1=0()圆心为c)上的动点则cos∠CPQ的最小值为

Answer 1

问：已知P,Q分别为直线2x+3+y+6=0和圆C:x2+y2-2+x-+4+y+1=0()圆心为c)上的动点则cos∠CPQ的最小值为

答：你好，您好！根据您的输入，我认为您想知道以下问题的答案：已知 P为直线 2x+3+y+6=0，Q 为圆 C:x^2+y^2-2x+4y+1=0（圆心为 C）上的动点。要求解 \cos\angle CPQ 的最小值。解法如下：首先，将直线 2x+3+y+6=0 化为一般式：2x+y=-9。圆 C 的标准式为：(x-1)^2+(y+2)^2=2^2。设 P\left(\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}-9\right)$，$Q\left(1+2\cos\theta,-2+\sin\theta\right)$。则 C 的圆心坐标为 C\left(1,-2\right)。根据向量内积公式，$\vec{CP}\cdot\vec{CQ}=|\vec{CP}|\cdot|\vec{CQ}|\cdot\cos\angle CPQ$。$\because \vec{CP}=\left(\dfrac{a}{2}-1,-\dfrac{a}{2}-11\right)$，$\therefore |\vec{CP}|=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}-1\right)^2+\left(-\dfrac{a}{2}-11\right)^2}$。$\because \vec{CQ}=\left(2\cos\theta,-4+\sin\theta\right)$，$\therefore |\vec{CQ}|=\sqrt{\left(2\cos\theta\right)^2+\left(-4+\sin\theta\right)^2}$。$\because \vec{CP}\cdot\vec{CQ}=\left(\dfrac{a}{2}-1\right)\cdot2\cos\theta+\left(-\dfrac{a}{2}-11\right)\cdot\left(-4+\sin\theta\right)$，$\therefore \cos\angle CPQ=\dfrac{\vec{CP}\cdot\vec{CQ}}{|\vec{CP}|\cdot|\vec{CQ}|}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{2}-1\right)\cdot2\cos\theta+\left