Question

已知底面边长为一的正三棱柱既有外接球有内切球等于该三棱柱共底面的外接圆锥

Answer 1

问：已知底面边长为一的正三棱柱既有外接球有内切球等于该三棱柱共底面的外接圆锥

答：正三棱柱的底面是一个等边三角形，设其边长为a，则该三棱柱的高h为h=a*sqrt(3)/2。设外接球半径为R，内切球半径为r，则有 R = (sqrt(3) / 6) * a 和 r = (1/3) * h = (a * sqrt(3))/6。正三棱柱的共底面外接圆锥的半径为 R' = (sqrt(3) / 3) * a，高为 h' = (2/3) * h = a * sqrt(3)/3。由勾股定理可知，正三棱柱的高等于其底面边长乘以 sqrt(3) / 2，因此 R = (sqrt(3) / 6) * a 和 r = (a * sqrt(3)) / 6。由此可得，外接球半径是内切球半径的2倍，即 R = 2r。

答：扩展资料：由共底面外接圆锥的定义可知，外接球与内切球的球心均位于该圆锥的顶点上。由于正三棱柱的底面是一个等边三角形，因此共底面外接圆锥的顶点位于底面重心上。正三棱柱底面的重心为三角形重心，即位于底面两相邻顶点连线中点的位置。由于等边三角形的中线与高重合，因此共底面外接圆锥的顶点到底面重心的距离等于共底面外接圆锥的高，即 R' = h'。因此，我们可以得到 R' = (sqrt(3) / 3) * a = h' = a * sqrt(3) / 3，即 a = 3。

答：因此，该正三棱柱的底面边长为3，外接球半径为R = (sqrt(3) / 6) * a = sqrt(3) / 2，内切球半径为r = (a * sqrt(3)) / 6 = sqrt(3) / 6，共底面外接圆锥的半径为R' = a * sqrt(3) / 3 = sqrt(3)。