Question

∫1-x/根号下1+x^2dx

Answer 1

问：∫1-x/根号下1+x^2dx

答：我们可以通过换元法来求解该积分。 设 $u = 1 + x^2$， 则有 $\frac{du}{dx} = 2x$， 从而 $dx = \frac{du}{2x}$。 将 $u = 1 + x^2$ 带入被积函数中，有： $\int \frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}} dx = \int \frac{1 - u}{2} \sqrt{u} du$ $= \frac{1}{2} \int (\sqrt{u} - u\sqrt{u}) du$ $= \frac{1}{2} (\int \sqrt{u} du - \int u\sqrt{u} du)$ $= \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ $= \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ $= \frac{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{(1+x^2)^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ 所以 $\int \frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}} dx = \frac{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{(1+x^2)^{\frac{5}{2}}}{5} + C$。

答：1+x^2dx = (1+x^2)^(3/2) / 3 - (1+x^2)^(5/2) / 5 + C。