Question

设正三角形ABC的边长为a,A,B,C分别是BC,CA,AB上的点,且A'B+B'C+C'A=a,求三角形的最大面积

Answer 1

问：设正三角形ABC的边长为a,A,B,C分别是BC,CA,AB上的点,且A'B+B'C+C'A=a ,求三角形的最大面积

答：您好， 我们可以利用海伦公式来求解三角形的面积。海伦公式是指，对于一个边长为a, b, c的三角形，其半周长为p=(a+b+c)/2，那么其面积S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))。 根据题目给出的条件，设正三角形ABC的边长为a，对A'B、B'C、C'A恰分成两段分别为x和a-x，则: A'B = x + a - x = a B'C = a - x + x = a C'A = x + a - x = a 那么，根据题意得:A'B+B'C+C'A=a=3a也就是 x+a-x + a-x+x + x+a-x=3a 解得 x = a/2 又因为A'B=BC，B'C=CA，C'A=AB，所以三角形ABC和三角形A'B'C'全等。 那么，三角形ABC的面积S可以表示为正三角形ABC和三角形A'B'C'的面积之和的一半，即S = (S1+S2)/2。其中，正三角形ABC的面积S1为S1=(a^2*sqrt(3))/4；三角形A'B'C'的面积S2可以根据海伦公式求解，这里不再赘述。

答：于是，三角形ABC的面积S为： S = (S1+S2)/2 S = (a^2*sqrt(3))/8 + sqrt(p(p-A'B)(p-B'C)(p-C'A)) S = (a^2*sqrt(3))/8 + sqrt((3a/2)(a/2)^3) S = (a^2*sqrt(3))/8 + (a^2*sqrt(3))/8 S = (a^2*sqrt(3))/4 所以，当正三角形ABC的边长为a时，该三角形的最大面积为 S = (a^2*sqrt(3))/4。