Question

求π/2+arctanx/1/x的极限

Answer 1

问：求π/2+arctanx/1/x的极限

答：首先，我们可以将 $\arctan x$ 展开成幂级数形式： $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$ 因此， $\frac{\pi}{2} + \arctan \frac{x}{1/x} = \frac{\pi}{2} + \arctan x^2$ 将 $\arctan x^2$ 展开成幂级数形式： $\arctan x^2 = x^2 - \frac{x^6}{3} + \frac{x^{10}}{5} - \frac{x^{14}}{7} + \cdots$ 因此， $\frac{\pi}{2} + \arctan \frac{x}{1/x} = \frac{\pi}{2} + \left(x^2 - \frac{x^6}{3} + \frac{x^{10}}{5} - \frac{x^{14}}{7} + \cdots\right)$ 当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$x^2$ 的数量级比其他高阶项小，因此可以忽略其他高阶项，得到： $\lim_{x\to 0} \left(\frac{\pi}{2} + \arctan \frac{x}{1/x}\right) = \frac{\pi}{2} + \lim_{x\to 0} x^2 = \frac{\pi}{2}$ 因此， $\lim_{x\to 0} \left(\frac{\pi}{2} + \arctan \frac{x}{1/x}\right) = \frac{\pi}{2}$。