Question

证明 ∫ kf(x)dx=k∫ f(x)dx (k为非零常数) ∫ [f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+ ∫g(x)d 求证明！

Answer 1

问：证明 ∫ kf(x)dx=k∫ f(x)dx (k为非零常数) ∫ [f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+ ∫g(x)d 求证明！

答：首先，我们来证明 ∫ kf(x)dx=k∫ f(x)dx。根据定积分的线性性质，我们有：∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx因为k是一个非零常数，所以它可以提取出积分符号外面。然后，我们可以把k看作一个常数，这样就可以应用定积分的基本性质了。具体来说，我们有：k ∫ f(x)dx = k [F(x) + C]其中F(x)是f(x)的原函数，C是任意常数。我们可以验证这个式子是否正确，只需要对其进行求导即可：d/dx (k [F(x) + C]) = k d/dx (F(x)) = k f(x)因此，我们证明了 ∫ kf(x)dx=k∫ f(x)dx。现在，我们来证明 ∫ [f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+ ∫g(x)dx。同样地，根据定积分的线性性质，我们有：∫ [f(x)+g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx这个式子也可以通过对等式两边同时求导来进行验证。因此，我们证明了 ∫ [f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+ ∫g(x)dx。