p级数乘以一个常数影响敛散性吗
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对于一个数列 $\{ a_n \}$，如果存在正整数 $k$ 和实数 $p$，使得
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n^p} = k$，则称该数列的敛散性与 $p$ 相关，记作 $a_n = O(p)$。
如果我们需要将数列 $a_n$ 中的每一项乘以一个正常数 $c$，即得到新的数列 $b_n = c a_n$。为了便于讨论，我们记 $b_n = c a_n$，则 $b_{n+1} = c a_{n+1}$。
那么，我们可以计算：
$\frac{b_{n+1}}{b_n^p} = \frac{ca_{n+1}}{(ca_n)^p} = \frac{a_{n+1}}{a_n^p} \cdot \frac{1}{c^{p-1}}$
从上面的式子可以看出：将数列中的每一项乘以一个常数 $c$，会使得对于 $b_n$ 敛散性与 $p$ 相关的定理也成立，只是与原先的比例常数 $k$ 乘以了 $\frac{1}{c^{p-1}}$。也就是说，常数 $c$ 的变化并不影响 $\{ a_n \}$ 敛散性的判定，只会影响敛散速度的快慢。
因此，我们可以在需要的情况下，将数列中的每一项乘以一个常数。
咨询记录 · 回答于2023-12-28
p级数乘以一个常数影响敛散性吗
您能补充下吗，我有点不太理解
对于一个数列 $\{a_n\}$，如果存在正整数 $k$ 和实数 $p$，使得
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n^p} = k$，则称该数列的敛散性与 $p$ 相关，记作 $a_n = O(p)$。
如果我们需要将数列 $a_n$ 中的每一项乘以一个正常数 $c$，即得到新的数列 $b_n = c a_n$。为了便于讨论，我们记 $b_n = c a_n$，则 $b_{n+1} = c a_{n+1}$。
那么，我们可以计算：
$$\frac{b_{n+1}}{b_n^p} = \frac{ca_{n+1}}{(ca_n)^p} = \frac{a_{n+1}}{a_n^p} \cdot \frac{1}{c^{p-1}}$$
从上面的式子可以看出：将数列中的每一项乘以一个常数 $c$，会使得对于 $b_n$ 敛散性与 $p$ 相关的定理也成立，只是与原先的比例常数 $k$ 乘以了 $\frac{1}{c^{p-1}}$。也就是说，常数 $c$ 的变化并不影响 $\{a_n\}$ 敛散性的判定，只会影响敛散速度的快慢。
因此，我们可以在需要的情况下，将数列中的每一项乘以一个常数。
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