Question

伴随矩阵怎么求

Answer 1

问：伴随矩阵怎么求

答：伴随矩阵是矩阵的一种特殊形式，它类似于原矩阵，但添加了一个“*”符号，表示矩阵的伴随。设 $A$ 为 $n \times n$ 的矩阵，$A^*$ 为其伴随矩阵，则有:$$A^* = A^{-1}$$其中，$A^{-1}$ 表示 $A$ 的逆矩阵，即 $A^{-1} A = I$,其中 $I$ 表示 $n \times n$ 的单位矩阵。伴随矩阵的求法通常采用矩阵的伴随式，即将原矩阵 $A$ 视为一个向量，求出该向量的伴随向量，再将伴随向量展开成一个矩阵，即得到伴随矩阵。具体来说，设 $A$ 为 $n \times n$ 的矩阵，$v$ 为 $n$ 维列向量，则有:$$A v = \lambda v$$其中，$\lambda$ 为未知常数。将上式两边同时左乘 $A^T$,可得:$$A^T A v = A^T \lambda v$$展开上式，有:$$A^T A v = \lambda A^T v$$由于 $A^T$ 表示 $A$ 的转置，因此有:$$A^T A v = \lambda A^T v$$即:$$A v = \lambda v$$将上式两边同时左乘 $A^{-1}$,可得:$$A^{-1} A v = A^{-1} \lambda v$$展开上式，有:$$A^{-1} A v = \lambda A^{-1} v$$即:$$A^{-1} A = \lambda I$$其中，$I$ 表示 $n \times n$ 的单位矩阵。根据上式，可以得到 $A$ 的伴随矩阵为:$$A^* = A^{-1}$$