Question

)若多项式 x^4+mx^2+n 分解因式后有因式 x^2+3x+4, 请求出mn的值.

Answer 1

问：)若多项式 x^4+mx^2+n 分解因式后有因式 x^2+3x+4, 请求出mn的值.

答：亲，你好！为您找寻的答案：根据题意，已知多项式 x^4+mx^2+n 可以被因式 x^2+3x+4 整除。我们可以进行多项式除法，将 x^4+mx^2+n 除以 x^2+3x+4： x^2+3x+4 _________________________x^2+3x+4 | x^4 + mx^2 + n我们可以通过多项式除法得到商和余数。根据多项式除法，余数为零表示多项式可以被除式整除。所以，根据上述多项式除法，我们可以得到以下等式：x^4 + mx^2 + n = (x^2+3x+4)(x^2+k)我们需要求解出 k 的值。展开右侧的乘积，我们有：(x^2+3x+4)(x^2+k) = x^4 + (3+k)x^3 + (4+3k)x^2 + 4kx由于左右两侧的多项式相等，对应项系数相等。比较两侧的 x^3 项的系数，我们可以得到：3+k = 0即，k = -3比较两侧的 x^2 项的系数，我们可以得到：4+3k = m代入上面求得的 k = -3，我们可以得到：4+3(-3) = mm = -5所以，mn = (-5)(-3) = 15因此，mn的值为15。

问：是分别求m n的值

答：根据题目中的条件，我们可以得到以下等式：x^4 + mx^2 + n = (x^2 + 3x + 4)(ax^2 + bx + c)我们需要将右边的乘法展开，然后与左边的多项式进行比较，找出对应的系数。展开右边的乘法，我们得到：(x^2 + 3x + 4)(ax^2 + bx + c) = ax^4 + (3a + b)x^3 + (4a + 3b + c)x^2 + (4b + 3c)x + 4c将上式与左边的多项式进行比较，我们可以得到以下等式：ax^4 + (3a + b)x^3 + (4a + 3b + c)x^2 + (4b + 3c)x + 4c = x^4 + mx^2 + n通过比较各项的系数，我们可以得到以下等式组：a = 13a + b = 04a + 3b + c = m4b + 3c = 04c = n根据第一个等式，得到 a = 1。代入第二个等式，得到 3(1) + b = 0，解得 b = -3。代入第三个等式，得到 4(1) + 3(-3) + c = m，简化得 c - 9 = m，即 c = m + 9。代入第四个等式，得到 4(-3) + 3c = 0，简化得 3c = 12，即 c = 4。代入第五个等式，得到 4(4) = n，即 n = 16。综上所述，m = c - 9 = 4 - 9 = -5，n = 16。