Question

计算+zdv+,其中由+z=x^2+y^2+与z=1所围成.

Answer 1

问：计算+zdv+,其中由+z=x^2+y^2+与z=1所围成.

答：亲亲，你好，很高兴为你解答，首先，需要找出边界曲面$z=1$和$z=x^2+y^2$的交线。将二者相等代入，可以得到：$$ x^2 + y^2 = 1 $$这是一个圆形的边界曲面。接下来，需要计算$zdv$。对于一个三维空间中的矢量场$\vec{F}(x,y,z)$，定义其“微元流量”为$\vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{n}dS$，其中$\vec{n}$是边界曲面上某点的法向量，$dS$是该点的面积微元。因此，如果要计算整个边界曲面$S$上的微元流量，需要对$S$进行积分：$$ \iint_S \vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{n}dS $$在本例中，$\vec{F}(x,y,z)=z\vec{i}+y\vec{j}-x\vec{k}$，因此：$$ \vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{n} = z\cos\theta + y\sin\theta $$其中$\theta$是$z$轴正向（即上方）与$\vec{n}$的夹角。因为边界曲面是圆形的，因此在整个边界上，$\theta$的范围是$0$到$2\pi$。

答：而边界曲面的面积微元$dS=rdrd\theta$，其中$r$是离$z$轴的距离（即上文中的半径），因为是圆形，所以$r$在整个边界上的范围是$0$到$1$。因此，整个微元流量可以写成积分形式：$$ \begin{aligned} \iint_S \vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{n}dS &= \int_0^{2\pi}\int_0^1 [(1-r^2)\cos\theta+r\sin\theta]rdrd\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^1 (r-r^3)\cos\theta \,dr \,d\theta +\int_0^{2\pi}\int_0^1 r\sin\theta \,dr \,d\theta \end{aligned} $$其中第一项可以通过对$r$积分得到：$$ \int_0^1 (r-r^3) \,dr = \frac{1}{2}-\frac{1}{4} = \frac{1}{4} $$因此：$$ \iint_S \vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{n}dS = \frac{1}{4} \int

答：第一项积分得到$0$，因此：$$ \iint_S \vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{n}dS = \int_0^{2\pi}\int_0^1 r\sin\theta \,dr \,d\theta $$再次对$r$积分，得到：$$ \int_0^1 r\sin\theta \,dr = \frac{1}{2}\sin\theta $$因此：$$ \iint_S \vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{n}dS = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\sin\theta \,d\theta = -\cos\theta |_0^{2\pi} = 0 $$这意味着，在边界曲面$z=1$和$z=x^2+y^2$所围成的区域内，微元流量为$0$。

问：能不能手写回答看不懂