Question

任选x∈(0,+∞),都有ln(x+1)<(eˣ-1)/x²原题

Answer 1

问：任选x∈(0,+∞),都有ln(x+1)<(eˣ-1)/x²原题

答：亲你好，很高兴为您服务。对于给定的不等式，我们可以尝试证明它对任意的 x ∈ (0,+∞) 成立。首先，考虑到 x > 0，我们可以应用等式 e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...。然后，我们可以利用这个等式来简化不等式的右侧 (e^x - 1)/x^2。(e^x - 1)/x^2 = [(1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...) - 1]/x^2 = (x + x^2/2! + x^3/3! + ...)/x^2 = 1/x + 1/2! + x/3! + x^2/4! + ...现在我们可以注意到，对于所有的正整数 n，n! ≥ 2^(n-1)。这是因为对于 n ≥ 2，我们有 n! = n * (n-1)! ≥ n * 2^(n-2) ≥ 2^(n-1)。因此，我们可以得到以下不等式：

答：x^2/2! + x^3/3! + … ≤ x^2/2 + x^3/2^2 + x^4/2^3 + …≤ x^2/2 + x^3/2^2 + x^4/2^3 + …≤ x^2/2 + x^3/4 + x^4/8 + …= x^2/2 + x^2/4 + x^2/8 + …= x^2/2 * (1 + 1/2 + 1/4 + …)= x^2.因此，我们得到 (e^x - 1)/x^2 ≤ 1/x + x^2。现在，我们可以重新审视原始的不等式 ln(x+1) < (e^x - 1)/x^2。对于 ln(x+1)，我们可以使用泰勒级数展开来近似计算：ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + …我们可以注意到，对于所有的正整数 n，(-1)^(n-1) * x^n/n ≤ x^n/n。因此，我们可以得到以下不等式：

答：ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + …≤ x + x^2/2 + x^3/3 + x^4/4 + …≤ x + x^2.综上所述，我们有 ln(x+1) < (e^x - 1)/x^2 ≤ 1/x + x^2。因此，原始的不等式 ln(x+1) < (e^x - 1)/x^2 对于任意的 x ∈ (0,+∞) 成立。