Question

设A,B都是mxn实矩阵,其中r(B)=n,证明AA+(A+B)(A+B)是正定矩阵

Answer 1

问：设A,B都是mxn实矩阵,其中r(B)=n,证明AA+(A+B)(A+B)是正定矩阵

答：首先证明任取n维列向量x≠0,Bx≠0因为R(B)=n,所以存在B的n级子式不为0,不妨设B前n行构成的子式|B1|不为0,则若B1x=0必有x=0,矛盾.所以B1x≠0,所以Bx≠0.这样因为A正定,任取x≠0,Bx≠0,所以AA〉0，A+B〉0，AA+(A+B)(A+B)是正定矩阵AA+(A+B)(A+B)是正定矩阵