Question

2×6×10+6×10×14+18+......+78×82×86=

Answer 1

问：2×6×10+6×10×14+18+......+78×82×86=

问：请用裂项方法，逐步答题

答：要使用裂项相消的方法来逐步解答给定的表达式：2×6×10+6×10×14+18+......+78×82×86首先，我们可以将每一项拆开成两个因数的乘积，例如：2×6×10 = (2×5) × (2×3) × (2×5+2)6×10×14 = (2×3) × (2×5+2) × (2×5+4)18 = (2×3) × (2×5+2) × 1......这样我们就可以发现，每一项都含有一个公共的因数 (2×3) × (2×5+2)，我们可以将其提取出来，得到：2×6×10+6×10×14+18+......+78×82×86= (2×3) × (2×5+2) × (5+2×2) + (2×3) × (2×5+2) × (5+4×2) + (2×3) × (2×5+2) × 1 + ...... + (2×3) × (2×5+2) × (39+2×2)我们可以将这个公共的因数提取出来，得到：= (2×3) × (2×5+2) × [5+2×2 + 5+4×2 + 1 + ...... + 39+2×2]现在我们需要求方括号里的表达式的值，这是一个等差

答：数列的和。我们可以使用等差数列的求和公式：Sn = n/2 × [2a1 + (n-1)d]其中，Sn 表示前 n 项的和，a1 表示第一项，d 表示公差。这个等差数列的第一项为 5+2×2，公差为 2，共有 20 项。将这些值代入公式，得到：[5+2×2 + 5+4×2 + 1 + ...... + 39+2×2]= 20/2 × [2(5+2×2) + (20-1)×2]= 20 × [14 + 38]= 1040因此，我们得到：2×6×10+6×10×14+18+......+78×82×86= (2×3) × (2×5+2) × [5+2×2 + 5+4×2 + 1 + ...... + 39+2×2]= (2×3) × (2×5+2) × 1040= 19684因此，给定的表达式的值为 19684。