Question

计算积分 f(z)=z/((z-1)(z+2) 其中C是从点O到点 1+i 的直线段

Answer 1

问：计算积分 f(z)=z/((z-1)(z+2) 其中C是从点O到点 1+i 的直线段

答：我们可以将 f(z) 分解为两个部分：f(z) = z / ((z-1)(z+2)) = A / (z-1) + B / (z+2)其中 A 和 B 是待定系数。将其通分：f(z) = (A(z+2) + B(z-1)) / ((z-1)(z+2))因此，A(z+2) + B(z-1) = z当 z=1 时，我们有：A(1+2) + B(1-1) = 1A = 1/3当 z=-2 时，我们有：A(-2+2) + B(-2-1) = -2B = -1/3因此，原积分可以被写为：f(z) = 1/3 / (z-1) - 1/3 / (z+2)根据积分定义，我们有：∫(C) f(z) dz = ∫(0)^(1+i) f(z) dz由于 C 是从原点到 1+i 的直线段，我们可以将路径分解为两部分：C = C1 + C2其中，C1 是从原点到 1，C2 是从 1 到 1+i。对于 C1，我们有：∫(C1) f(z) dz = ∫(0)^(1) f(t) dt因为 z = t，dz = dt。因此，∫(C1) f(z) dz = ∫(0)^(1) f(t) dt = ∫(0)^(1) (1/3 / (t-1)) dt - ∫(0)^(1) (1/3 / (t+2)) dt = [1/3 ln|t-1| - 1/3 ln|t+2|]_(0)^(1) = -1/3 ln(3/2)对于 C2，我们有：∫(C2) f(z) dz = ∫(1)^(1+i) f(z) dz因为我们已经将 f(z) 分解成一些简单的分式形式，C2 的积分可以很容易地计算：∫(C2) f(z) dz = ∫(1)^(1+i) f(z) dz = [1/3 ln|z-1| - 1/3 ln|z+2|]_(1)^(1+i) = 1/3 ln(2/3) - 1/3 ln(5)将 C1 和 C2 的积分加在一起，我们得到：∫(C) f(z) dz = ∫(0)^(1+i) f(z) dz = ∫(C1) f(z) dz + ∫(C2) f(z) dz

答：将 C1 和 C2 的积分加在一起，我们得到：∫(C) f(z) dz = ∫(0)^(1+i) f(z) dz = ∫(C1) f(z) dz + ∫(C2) f(z) dz = -1/3 ln(3/2) + 1/3 ln(2/3) - 1/3 ln(5) = -1/3 ln(5/9)因此，积分的值为 -1/3 ln(5/9)。

答：这是您要的答案和解析 亲

答：亲亲图片压缩比较严重我实在看不清的哈，咱们还有没有文字理论性的问题要问呀

问：(1)求将z平面上的点 z1=1 、 z2=i 和 z3=-1 依次映射为W平面上的点 w1=0 、 w2=1 和 w3=∞ 的分式线性映射 w=z+b/cz+d；(2)该映射将z平面上圆周 |z|=1 映射为W平面上的什么曲线?(3)该映射将z平面上圆的内部 |z|<1 映射为W平面上的什么区域?

答：好的 亲

答：(1)由题意可得：当z=z1=1时，w=w1=0，代入分式线性变换w=z+b/cz+d可得0=1+b/c+d，解得b=-d当z=z2=i时，w=w2=1，代入分式线性变换w=z+b/cz+d可得1=i-b/c+di，化简得b=ic-d当z=z3=-1时，w=w3=∞，代入分式线性变换w=z+b/cz+d可得∞=-1+b/c-d，化简得b=d综上所述，分式线性变换为：w=(z-i)/(z+1)(2)因为分式线性变换将圆周映射为圆周或直线，故圆周|z|=1在W平面上必然是一个圆周或直线。又因为w1=0，w2=1，w3=∞，故根据圆周三点定理，圆周|z|=1在W平面上是一条经过0和1的圆周。(3)将|z|<1的圆心移动到原点，将z=x+iy表示为极形式r(cosθ+isinθ)，则分式线性变换为：w=(z-i)/(z+1)=[r(cosθ+isinθ)-i]/[r(cosθ+isinθ)+1]=[r(cosθ+isinθ)-i][r(cosθ-isinθ)+1]/[r^2+1+2rcosθ]=[(r^2-1)cosθ+2risinθ]/[r^2+1+2rcosθ]+i[(r^2-1)sinθ]/[r^2+1+2rcosθ]因为|r|<1，故r^2-1，故2rcosθ>-2，所以 r^2+1+2rcosθ>0因此，w平面的实数轴上的取值范围是(-∞，∞)对于虚数轴上的点，令z=iy，则z=-y+xi，则有：w=(z-i)/(z+1)=[(-y+i(x-1))i]/[(-y-i)+(x-1)i]=(x-1-yi)^2/[1+y^2+2y]=[x^2+(1-y)^2-1]/[1+y^2+2y]+i[2y]/[1+y^2+2y]令y=tanθ，则有：w=[cos2θ-1]/[2sinθcosθ+1]+i[sin2θ]/[2sinθcosθ+1]整理分母得：w=[cos2θ-1]/[cos2θ-sin2θ]+i[sin2θ]/[cos2θ-sin2θ]令x=cos2θ，y=sin2θ，则对于w平面中上半平面的点，有y>0，x>y，所以：w=(x-1)/x+i*y/x即，上半平面被映射为w平面上的单位圆内部。对于下半平面的点，可以类似地分析得到，下半平面被映射为w平面上的单位圆外部。综上所述，|z|<1被映射为w平面上的单位圆

答：这是您要的答案和解析 亲

答：亲 这图片我们识别不了呀