Question

y''+4y'+4y=e*(-x)的通解

Answer 1

问：y''+4y'+4y=e*(-x)的通解

答：y''+4y'+4y=e^(-x)的通解为y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)+1/4*e^(-x)*x其中C1和C2是常数。

答：首先，求解齐次方程的特解，通过求解方程 r^2+4r+4=0 的根得到特征方程为 r1 = -2, r2 = -2 。因此可以得到齐次方程的通解形式为 y = C1e^(-2x) + C2e^(-2x)接着求非齐次方程的特解，这里需要对方程 y''+4y'+4y=e^(-x) 中的 e^(-x) 进行拉格朗日变换。得到方程为 y''+4y'+4y-e^(-x) = 0, 并设特解为 y1 = u(x)e^(-x)。带入方程并消元得到 u(x) = x/4 。将 y1 = u(x)e^(-x) 代入原方程中得到 y1 = 1/4*e^(-x)*x最终的通解为 y = C1e^(-2x) + C2e^(-2x) + 1/4*e^(-x)*x