Question

两扇形相交定积分求相交部分面积

Answer 1

问：两扇形相交定积分求相交部分面积

答：两个扇形相交部分面积可以通过定积分求解。假设两个扇形所在圆心角分别为$\alpha$和$\beta$（$\alpha,\beta\in[0,2\pi]$），半径分别为$r_1$和$r_2$（$r_1,r_2>0$），且两个扇形的公共部分所对圆心角为$\theta$（$\theta\in[0,\min(\alpha,\beta)]$），则两个扇形相交部分的面积为：$$A=\frac{1}{2}r_1^2(\alpha-\theta)+\frac{1}{2}r_2^2(\beta-\theta)-\frac{1}{2}r_1r_2\sin(\alpha-\beta+\theta)$$其中$\sin(\alpha-\beta+\theta)$为三角函数中的差角公式。这个公式可以通过将相交部分拆分成三角形和梯形的面积来进行推导。

答：当两个扇形重合时，公共部分的面积等于其中一个扇形的面积；当两个扇形不相交时，公共部分的面积为0。此外，想要求解更复杂的相交部分面积，两个圆或者两个正多边形的相交部分面积，也可以采用类似的方法来进行求解。

问：好像搞错了应该是y2-y1

答：亲，你可以把你的问题通过文字的方式描述出来，这个图老师看的不是很清楚哦

问：一个边长为4的正方形，以左上角为原点4为半径作圆，再以下边中点半径为2作圆，求相交部分面积，小学方法解不了用定积分解

问：答案是3.847，要过程

答：相交部分面积可以用定积分来解决。首先，将正方形顺时针旋转45度，使其边与坐标轴平行。以左下角为原点建立平面直角坐标系，圆的方程为$(x-2)^2+y^2=4$，另一个圆的方程为$x^2+(y-2)^2=16$。两个圆的交点横坐标分别为$2\pm\sqrt{3}$，纵坐标分别为$2\pm\sqrt{3}$。交点连成的两条直线分别为$x=y$和$x+y=4$。于是，所求面积为两个圆弧与两条直线围成的图形面积之和。对于第一个圆弧，可取上半部分，在极坐标系下表示其方程为$\theta\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{6}\right]$，故其面积为$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{2}\cdot 4^2\cdot d\theta=\frac{8\pi}{3}-4\sqrt{2}$$对于第二个圆弧，可取右半部分，在极坐标系下表示其方程为$\theta\in\left[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right]$，故其面积为$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\cdot 2^2\cdot d\theta=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$$对于两条直线围成的三角形，可以求出底边和高，从而得到其面积为$\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。另一个三角形的面积与之相等。于是，所求面积为$\left(\frac{8\pi}{3}-4\sqrt{2}\right)+\left(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+4\sqrt{2}=\frac{8\pi}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}-2$，约为3.847。