Question

4.已知抛物线+y=ax^2+bx+c+与抛物线+y=x^2+2x+3的+顶点坐标箱同,为+(-2,4),++

Answer 1

问：4.已知抛物线+y=ax^2+bx+c+与抛物线+y=x^2+2x+3的+顶点坐标箱同,为+(-2,4),++

答：已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的顶点坐标为 $(-2,4)$，另一个抛物线 $y=x^2+2x+3$ 的顶点坐标也为 $(-2,4)$。由于抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的顶点坐标为 $(-2,4)$，因此有：$$\begin{cases}a(-2)^2+b(-2)+c=4 \\a(-2+\Delta x)^2+b(-2+\Delta x)+c \leq 4, \Delta x \neq 0 \\\end{cases}$$

答：将点 $(-2,4)$ 代入上式，得到：$$4a-2b+c=4$$

答：又由于两个抛物线的顶点坐标相同，因此它们的 $x$ 坐标相同，即：$$\begin{cases}ax^2+bx+c=x^2+2x+3 \\ax^2+(b-2)x+(c-3)=0 \\\end{cases}$$

答：由于两个抛物线的顶点坐标相同，因此它们的 $y$ 坐标也相同，即：$$ax^2+bx+c=x^2+2x+3$$整理得：$$ax^2+(b-2)x+(c-3)=0$$

答：由于顶点坐标为 $(-2,4)$，因此有 $a<0$。又因为 $ax^2+(b-2)x+(c-3)$ 的判别式 $\Delta=(b-2)^2-4a(c-3)$，必须大于等于 $0$，才有实数解。因此有：$$(b-2)^2-4a(c-3) \geq 0$$综上所述，我们可以得到以下不等式组：$$\begin{cases}4a-2b+c=4 \\a<0 \\(b-2)^2-4a(c-3) \geq 0 \\\end{cases}$$解以上不等式组，即可得到抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的系数。