Question

用常数变易法求解方程y"+4y=4sec2x

Answer 1

问：用常数变易法求解方程y"+4y=4sec2x

答：您好，方程y"+4y=4sec2x是一个非齐次二阶微分方程。我们可以用常数变易法求解如下:1.假设方程的解为:y=c1+c2x (c1和c2为任意常数)2.将上式代入方程y"+4y=4sec2x,有:c2' + 4(c1 + c2x) = 4sec2x3.化简得:c2' = 4sec2x - 4c1 - 16c2x4.因为c1和c2是任意常数,所以c2'必为零,得:0 = 4sec2x - 4c1 - 16c2x5.再化简得:c1 = -2, c2 = 1/86.将c1和c2代回原假设方程y=c1+c2x,得:y=-2+x/8所以,方程y"+4y=4sec2x的通解为:y=-2+x/8其中c1=-2为任意常数,-2对应方程的特解;c2=1/8为任意常数,x/8对应方程的齐次解。

问：这几个题也帮我解一下哈

答：亲，证明:lim[p(t)-q2(t)]存在已知方程x"+7x"+6x'=f(t)的两个解为p(t)和q2(t),要证明p(t)-q2(t)的极限存在。根据解的存在唯一性定理,方程的两个线性无关解p(t)和q2(t)必定满足初值条件:p(0)=a,p'(0)=bq2(0)=c,q2'(0)=d其中a,b,c,d为常数。由于两个解对应的初值不同,所以在某个邻域内必定有:p(t)≠q2(t)因此,p(t)-q2(t)在该邻域内必定不等于零。同时,因为f(t)在(一∞,+∞)上连续,根据微分方程解的存在性定理,p(t)和q2(t)也必定在(一∞,+∞)上存在和连续。所以,p(t)-q2(t)作为两个连续函数的差,也必定在(一∞,+∞)上连续。由于p(t)-q2(t)在某邻域内不等于零且在(一∞,+∞)连续,根据夹逼定理,p(t)-q2(t)的极限一定存在。因此,lim[p(t)-q2(t)]存在。

答：您好，根据题意,方程如下:y"(x)-y'(x)+3y(x) = 5e^(-x^2), x∈R且y'(0) = 3由于方程中右端项5e^(-x^2)在实数集上连续,根据解的存在唯一性定理,该方程存在唯一解。利用初值条件y'(0) = 3,可得方程的零散点y(0)的表达式。将y'(0) = 3代入微分方程,得:y"(0) - 3 + 3y(0) = 5=> y(0) = 5所以,方程y"(x)-y'(x)+3y(x) = 5e^(-x^2)的一个解析解为:y(x) = 5 + (y'(x) - 3)x + ∫(y"(u) - y'(u) + 3y(u))du=> y(x) = 5 + (y'(x) - 3)x + ∫(5e^(-u^2) - y'(u) + 3y(u))du=> y(x) = 5 - x^2 + 3x +C其中C为任意常数。综上可得,方程y"(x)-y'(x)+3y(x) = 5e^(-x^2)满足初值条件y'(0)=3的解析解为:y(x) = 5 - x^2 + 3x + C这就是该方程的一个通解表达式。通过给定方程具体的初始条件或边界条件,可以确定C的值,得到方程的特解。

答：您好，这是一个非齐次二阶微分方程,根据给定的初值条件y(0) = y'(0) =1,我们可以求出这个方程的特解。解:1. 方程的齐次方程为:y"-4y'+4y=0 特征方程:r^2 - 4r + 4 = 0 得特征根为:r1=2,r2=2 对应的特征向量为:x1=(1,0),x2=(0,1)则这个方程的相应解为:yh=c1e^2x+c2e^2x2. 非齐次项为:f(x)=27xe^*此项对应解为:yp(x)=1/2(9e^x+3e^-x)3. 方程的通解为:y=yh+yp=c1e^2x+c2e^-2x+1/2(9e^x+3e^-x)4. 由初值条件y(0)=1和y'(0)=1,代入通解得到:1 = c1 + c2 + 6 (当x=0时,e^0=e^-0=1) 1 = 2c1 (当x=0时,y'=c1e^2x-c2e^-2x=2c1)解得:c1=1/2,c2=-5/25. 代回通解,得方程的特解为:y=1/2e^2x - 5/2e^-2x + 1/2(9e^x + 3e^-x)所以,方程y"-4y'+4y=27xe^*, y(0) = y'(0) =1的特解为:y=1/2e^2x - 5/2e^-2x + 1/2(9e^x + 3e^-x)

答：您好，方程的通解或者特解，xx”-(x')+(x')’=0：解:1. 比较系数得:P(x)=1,Q(x)=-1,R(x)=-12. 寻找特征方程:r^2 + r + 1 = 0 得特征方程有两个根:r1=-1,r2=-13. 计算相应的特征向量: 特征根为-1的特征向量有x1=(1,-1),x2=(1,1), 特征根为-1的特征向量有x3=(1,-1),x4=(1,1)4. 由特征值和特征向量可知,方程的通解为: y=c1(1,-1)e^-1x + c2(1,1)e^-1x + c3(1,-1)e^-1x + c4(1,1)e^-1x =(c1-c3)e^-1x + (c2+c4)e^-1x综上,方程xx”-(x’)+(x’)’=0的通解为:y = (c1-c3)e^-1x + (c2+c4)e^-1x其中c1,c2,c3,c4为任意常数。

问：请帮我写出来拍照这种看不懂

答：亲，这不是图片哦，是打字出来的哦。