Question

求(x+3y)dx-xdy=0的通解

Answer 1

问：求(x+3y)dx-xdy=0的通解

答：对于方程(x+3y)dx-xdy=0，我们可以使用恰当的积分因子来求解其通解。首先，我们需要判断该方程是否为恰当微分方程。计算得到该方程的偏导数：∂(x+3y)/∂y = 3∂(-x)/∂x = -1由于它们不相等，所以该方程不是恰当微分方程。接下来，我们需要找到一个函数μ(x,y)，使得乘上它后，原方程变为恰当微分方程。根据恰当微分方程的定义，有：(∂/∂y)(μ(x,y)(x+3y)) = (∂/∂x)(-μ(x,y))将上式中左边的部分展开并整理可得到：3μ(x,y) + (x+3y)∂μ(x,y)/∂y = -∂μ(x,y)/∂x由于μ(x,y)只与x和y有关，所以可以将上式两边同时除以μ(x,y)，得到：(3/(x+3y))dy/dx = (-1/x) + ∂ln|μ(x,y)|/∂x为了使得右边的式子只与x有关，我们需要让∂ln|μ(x,y)|/∂x只与x有关，也就是说，∂ln|μ(x,y)|/∂y=0。这样，我们就可以选择μ(x,y)为：μ(x,y) = (x+3y)^(-3)将μ(x,y)乘到原方程中，得到：d[(x+3y)^(-2)]/dx = 0对上式积分可得：(x+3y)^(-2) = c即通解为：(x+3y)^(-2) = c其中c为任意常数哦。

答：1. 积分因子的概念及其作用；2. 恰当微分方程的定义和判别方法；3. 求解非恰当微分方程的yi.ban.步骤；4. 类似形式的非恰当微分方程的求解方法哦。

问：你好能用齐次微分方程的方法来求(x+3y)dx-xdy=0的通解吗

答：可以用齐次微分方程的方法来求解(x+3y)dx-xdy=0。首先，我们将方程改写为(x/y+3)dx=dy，然后设v=x/y，则有x=v*y，dx=vdy+ydv，代入原式得到：(v*y+3)vdy+ydv=0化简得到：vdy=-ydv/ (v+3)对两边同时积分，得到：∫(1/v+3)dv = -∫1/y dy即ln|v+3| = -ln|y| + C，其中C为常数。再次代入v=x/y，得到ln|x/y+3| = -ln|y| + C。移项整理可得到通解：x/y+3=C1*y，其中C1为任意常数。这就是所求的通解哦。