Question

计算定积分∫e^(-x^2)，区间0到正无穷

Answer 1

如图解法：

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

设你所要求的积分为a，
令
b＝
∫
e^(-x^2)dx
积分区间为负无穷到正无穷，
又
b＝
∫
e^(-y^2)dy
积分区间为负无穷到正无穷
被积函数e^（-x^2）在正负无穷上偶函数，所以a=b/2
b^2=
(∫
e^(-x^2)dx)*(∫
e^(-y^2)dy)
=
∫
∫
e^(-(x^2+y^2))dx
dy
将上述积分化到极坐标中，
x^2+y^2=r^2
∫
∫
e^(-(x^2+y^2))dx
dy
=
∫
∫
r
e^(-r^2)dr
dθ
r从0到正无穷，θ从0到2π
=
∫
1/2
dθ
θ从0到2π
=
π
所以b＝√π
所以你要求的原积分就是
b/2
=
√π
/2
当然，你要是知道b＝
∫
e^(-x^2)dx
这个积分是泊松积分，而泊松积分的值就等于√π的话，这道题目的答案不用计算就知道是√π/2，泊松积分这样的常用积分的值你如果能记住的话，对快速解题很有帮助。
泊松积分的计算有两种方法，上面的是把积分化成二重积分来计算，还有一种方法同上面的方法差不多，是把该积分化成喊参变量的积分后再通过夹逼准则来计算，具体你有兴趣的话可以去翻一下有关的高数和数分的教科书。