Question

已知α,β∈(0,π),tanα/2=1/2,sin(α-β)=5/13求β

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

α,β∈(0,π),
那么
α/2
β/2
∈(0,π/2),
也就是说
sinα/2
cosα/2
tanα/2
这些都是正值
tanα/2=1/2,
sin(α-β)=5/13
求β
tanα/2
=
1/2
===>
根据
tan²(α/2)
=
(1
-
cosα)
/
(1
+
cosα)
===>
cosα=3/5
进一步
sinα
=
4
/
5
①
sin(α-β)
=
5/13
===>
根据
sin(α-β)
=
sinαcosβ
-
cosαsinβ
②
①代入②得到
5/13
=
4cosβ/5
-
3sinβ/5
③
说明:这里还可以利用
cos(α-β)
=
12/13这个隐含条件--------你自己试一试
设
cosβ
=
x
则考虑到不会负值的
sinβ
=
√(1
-
x²)
代入
③解方程
(25/13
-
4x)²
=
9(1
-
x²)
解之得
x
=
cosβ
=
56/65
或者x
=
cosβ
=
-16/65
即sinβ
=
33/65
或者sinβ
=
63/65
所以
β
=
arcscos
56/65
或者
β
=
π
-
arccos(56/65)
或者
β
=
π
-
arccos(16/65)
-------负值的cosβ是否要舍去，是否钝角不符合sin(α-β)=5/13
为正的条件，你自己考虑一下