Question

设f(x)在点x=0处连续,若lim(1+f(x)/x)^（1/sinx）=e^2（x趋近于0）,

Answer 1

问：设f(x)在点x=0处连续,若lim(1+f(x)/x)^（1/sinx）=e^2（x趋近于0）,

答：lim(1+f(x)/x)^（1/sinx）=lim(1+f(x)/x)^（1/x）=lim(1+x*f(x)/x^2)^（1/x）由于f(x)在x=0处连续，当x->0时，f(x)趋于常数f(0),因此f(x)在x=0的邻域内有界同时，上式如果用y=f(x)/x^2, n=1/x代替，我们知道党n->无穷大时，上面的极限是e^y = e^(f(x)/x^2) 对于(1+y/n)^n型的极限，这是书上会讲得吧？既然上式极限趋于e^2,那么f(x)/x^2趋于2