Question

关于x的一元二次不等式ax²+2x+c<0的解集是{ x| x<-¼或x>二分之一},求a,

Answer 1

问：关于x的一元二次不等式ax²+2x+c<0的解集是{ x| x二分之一},求a,

答：根据一元二次不等式的解法，对于形如 $ax^2+2bx+c0$ 时，其解集为 $x \in \left(-\infty,\frac{-b-\sqrt{b^2-ac}}{a}\right) \cup \left(\frac{-b+\sqrt{b^2-ac}}{a},+\infty\right)$；当 $a<0$ 时，其解集为 $x \in \left(\frac{-b-\sqrt{b^2-ac}}{a},\frac{-b+\sqrt{b^2-ac}}{a}\right)$。因此，对于题目中给出的 $ax^2+2x+c0$（因为不等式的解集为 $x \in \left(-\infty,-\frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{1}{2},+\infty\right)$，即开口向下的抛物线，因此 $a>0$）。根据一元二次不等式的解法，不等式 $ax^2+2x+c<0$ 的解集为 $x \in \left(-\infty,-\frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{1}{2},+\infty\right)$，因此：$$\begin{cases}-\frac{1}{4} \frac{-b}{2a} \\frac{1}{2} > \frac{-b}{2a}\end{cases}$$将 $b=1$ 代入上式，解得：$$\begin{cases}-\frac{1}{4} \frac{-1}{2a} \\frac{1}{2} > \frac{-1}{2a}\end{cases}$$化简得：$$\begin{cases}a > 4 \a < -2\end{cases}$$综上所述，$a$ 的取值范围为 $a \in (-\infty,-2) \cup (4,+\infty)$。