Question

8设f(x),+g(x)F[x],mZ^+,+证明:如果+f(x),g(x))=1,+那么-|||-(f^m(x),g^m(x))

Answer 1

问：8设f(x),+g(x)F[x],mZ^+,+证明:如果+f(x),g(x))=1,+那么-|||-(f^m(x),g^m(x))

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦若f(x)·g(x)=1，则f(x)和g(x)互为逆元，即f(x)·g(x)=g(x)·f(x)=1，所以f^m(x)·g^m(x)=f(x)·f(x)·...·f(x)·g(x)·g(x)·...·g(x)=1·1·...·1=1，即f^m(x)和g^m(x)互为逆元，即f^m(x)·g^m(x)=g^m(x)·f^m(x)=1。

问：如果用归纳法要怎么证明

答：归纳法证明：首先，显然我们可以得出，当m=1时，f^1(x)·g^1(x)=f(x)·g(x)=1，即f^1(x)和g^1(x)互质。假设当m=n时，f^n(x)·g^n(x)=1，即f^n(x)和g^n(x)互质。那么，当m=n+1时，我们可以用到f^n(x)和g^n(x)互质这个结论，可以得出f^(n+1)(x)·g^(n+1)(x)=f^n(x)·f(x)·g^n(x)·g(x)=1·1=1，即f^(n+1)(x)和g^(n+1)(x)互质。由此可以得出，对任意正整数m，都有f^m(x)·g^m(x)=1，即f^m(x)和g^m(x)互质。

答：f(x)=x3+x2+2x+1