Question

1(20分)已知某个企业的生产函数为+q=30L^2K-2L^3K^2+,qL和K分别为企业每月的+

Answer 1

问：1(20分)已知某个企业的生产函数为+q=30L^2K-2L^3K^2+,qL和K分别为企业每月的+

答：亲您好很抱歉，您的问题似乎不完整，缺少了一些重要的信息。请提供完整的问题描述，包括生产函数的符号和单位，以及您需要求解的具体问题，我会尽力帮助您解答。

答：亲您好，很抱歉，您可以文字说明您的问题吗

问：已知某个企业的生产函数为q=30L^2K^2➖2L^3K^2，q、L和K分别为企业每月的产量、劳动量和资本投人量。假设k的量固定为 1，L为变动要素。(1）求解企业总产量、平均产量和边际产量最大时的劳动投入量为多少？该企业劳动投入量在哪个区间是合理的？(2）如果劳动价格为 w=10，资本价格为r=2，求解这个企业的短期总成本函数、短期平均成本函数、短边际成本函数和短期平均变动成本函数

答：亲您好，(1) 首先求解企业总产量函数对劳动投入量的一阶导数和二阶导数：q(L) = 30L^2 - 2L^3q'(L) = 60L - 6L^2q''(L) = 60 - 12L令q'(L) = 0，得到L = 10，此时q''(L) = 60 - 120 = -60 < 0，说明L = 10是q(L)的极大值点，即企业总产量最大时的劳动投入量为10。求解企业平均产量函数和边际产量函数：平均产量函数：AVC(L) = q(L)/L = 30L - 2L^2边际产量函数：MC(L) = q'(L) = 60L - 6L^2对平均产量函数和边际产量函数分别求一阶导数和二阶导数：AVC'(L) = 30 - 4LAVC''(L) = -4MC'(L) = 60 - 12LMC''(L) = -12令AVC'(L) = 0，得到L = 7.5，此时AVC''(L) = -4 < 0，说明L = 7.5是AVC(L)的极大值点，即企业平均产量最大时的劳动投入量为7.5。

答：令MC'(L) = 0，得到L = 5，此时MC''(L) = -12 < 0，说明L = 5是MC(L)的极大值点，即企业边际产量最大时的劳动投入量为5。因此，企业劳动投入量在[5,10]的区间是合理的。(2) 短期总成本函数：TC(L) = wL + rK = 10L + 2短期平均成本函数：AC(L) = TC(L)/q(L) = (10L + 2)/(30L^2 - 2L^3)短期边际成本函数：MC(L) = TC'(L) = 10短期平均变动成本函数：AVC(L) = wL/q(L) = 10L/(30L^2 - 2L^3)

问：已知企业的生产函数为q=L^1/3K2/3，劳动L的价格 w=1，资本k的价格r=2。(1）如果企业成本预算为 C=3000，企业买现最大产量时的L、K 和最大产量q分别为多少？(2）如果企业计划生产产量q=800，企业实现最小成本时的L，K和最低成本C分别为多少？（3）如果劳动价格为 w，资本价格为r，为了生产 Q*的产量，求解企业的生产扩展线函教、劳动的需求函数和资本的需求函数（4）如果芳动价格为 w，资本价格为r，为了生产 Q*的产量，求解企业的LTC、LAC和LMC

答：(1) 成本预算为C=3000，企业买现最大产量时的L、K和最大产量q分别为多少？首先，企业的成本是由劳动和资本的成本组成的，即C=wL+rK。将生产函数代入成本函数，得到C=wL+rK=wL+2K/3q^(3/2)。由于成本预算为C=3000，所以有3000=wL+2K/3q^(3/2)。为了求解L、K和q，我们需要使用拉格朗日乘数法。设L、K和q的拉格朗日函数为：L = wL + 2K/3q^(3/2) + λ(3000 - wL - 2K/3q^(3/2))对L、K和q分别求偏导数并令其等于0，得到：∂L/∂L = w - λ = 0∂L/∂K = 2/3q^(3/2) - 2λ/3 = 0∂L/∂q = (4/9)Kq^(-5/2) - (2/3)λq^(-3/2) = 0解这个方程组，得到：λ = w = 1K = (3/2)q^(3/2)L = 2000将K和L代入生产函数，得到：q = L^(1/3)K^(2/3) = (2000)^(1/3)((3/2)q^(3/2))^(2/3) = (2000/3)^(1/3)q^(2/3)

答：解这个方程，得到：q = (3/2000)^3 * 3000^2 = 6.75因此，企业买现最大产量时，劳动L=2000，资本K=2250，最大产量q=6.75。

答：(2) 如果企业计划生产产量q=800，企业实现最小成本时的L，K和最低成本C分别为多少？企业的成本函数为C=wL+rK=wL+2K/3q^(3/2)，我们需要最小化成本函数，即：min C = wL + 2K/3q^(3/2)同时，由于企业计划生产产量q=800，我们有：q = L^(1/3)K^(2/3) = 800将q代入生产函数，得到：K = (3/2)q^(3/2) = 1200L = q^(3/2) = 800*sqrt(2)将K和L代入成本函数，得到：C = wL + 2K/3q^(3/2) = 800*sqrt(2) + 1600/3因此，企业实现最小成本时，劳动L=800*sqrt(2)，资本K=1200，最低成本C=800*sqrt(2) + 1600/3。

答：(3) 如果劳动价格为w，资本价格为r，为了生产Q*的产量，求解企业的生产扩展线函数、劳动的需求函数和资本的需求函数。企业的生产函数为q=L^(1/3)K^(2/3)，将q替换为Q*，得到：K = (Q*/L)^(3/2)将K代入生产函数，得到：q = L^(1/3)(Q*/L)^(1/3) = (Q*L^2)^(1/3)对生产函数求偏导数，得到生产扩展线函数为：dK/dL = -3/2(Q*/L)^(1/2)劳动的需求函数为：L = (w/r)^(3/2)Q*资本的需求函数为：K = (r/w)^(1/2)Q*

答：(4) 如果劳动价格为w，资本价格为r，为了生产Q*的产量，求解企业的LTC、LAC和LMC。企业的成本函数为C=wL+rK，将K代入成本函数，得到：C = wL + r[(r/w)^(1/2)Q*] = wL + r^(3/2)w^(-1/2)Q*LTC为成本函数对Q*的一阶导数，即：LTC = r^(3/2)w^(-1/2)LAC为单位产量成本，即：LAC = C/Q* = wL/Q* + r^(3/2)w^(-1/2)将劳动和资本的需求函数代入，得到：LAC = w[(w/r)^(3/2)]/Q* + r^(3/2)w^(-1/2) = (w/r)^(1/2)Q^(-2/3) + r^(3/2)w^(-1/2)LMC为成本函数对Q*的二阶导数，即：LMC = 0因此，企业的LTC为r^(3/2)w^(-1/2)，LAC为(w/r)^(1/2)Q^(-2/3) + r^(3/2)w^(-1/2)，LMC为0。

问：某个完全竞争企业的短期成本函数为TC=Q^3➖6Q^2+30Q+40，试求(1）如果市场价格为126，企业的利润极大化产量为多少，最大化利润为多少？(2）如果因为经济不景气使市场价格下降到30，企业的最优产量为多少？是否发生亏损，最小亏损为多少？(3）当价格 下降到什么水平时，这个企业会暂时停业？这个企业的短期供给函数是什么？

答：(1) 企业的利润函数为：π(Q) = TR(Q) - TC(Q)，其中TR(Q)为总收入，TC(Q)为总成本。由于这是一个完全竞争市场，企业的价格等于市场价格，即P = 126。总收入为TR(Q) = P × Q = 126Q。将TC(Q)代入利润函数，得到：π(Q) = 126Q - Q^3 + 6Q^2 - 30Q - 40对π(Q)求导数，得到：π'(Q) = 126 - 3Q^2 + 12Q - 30令π'(Q) = 0，解得Q = 2 和 Q = 6。由于π''(Q) = -6Q + 12 < 0，所以Q = 6时为最大值，此时最大利润为π(6) = 126 × 6 - 6^3 + 6 × 6^2 - 30 × 6 - 40 = 256。

答：(2) 当市场价格为30时，企业的利润函数为：π(Q) = 30Q - Q^3 + 6Q^2 - 30Q - 40化简得：π(Q) = -Q^3 + 6Q^2对π(Q)求导数，得到：π'(Q) = -3Q^2 + 12Q令π'(Q) = 0，解得Q = 0 和 Q = 4。由于π''(Q) = -6Q + 12 < 0，所以Q = 4时为最大值，此时最大利润为π(4) = 30 × 4 - 4^3 + 6 × 4^2 - 30 × 4 - 40 = -16，即企业发生亏损。最小亏损为π(0) = -40。(3) 当价格低于最小化亏损的价格时，企业会暂时停业。最小化亏损的价格为P = MC，即30 = 3Q^2 - 12Q + 30，解得Q = 2 和 Q = 4。由于MC = 9Q^2 - 12Q + 30，所以当价格低于MC = 9Q^2 - 12Q + 30时，企业会暂时停业。企业的短期供给函数为其最小化成本的边际成本曲线，即MC = 9Q^2 - 12Q + 30。

问：下列长期生产函数所表示的是规模报酬递增、递减还是不变，为什么？ （1）Q=10（L^1/2+K^1/2）。 （2）Q=2L^2+2LK➖4K^2

问：（3）Q=aL+bK。 （4）Q=AL^aK^b

答：(1) 长期生产函数Q=10(L^1/2+K^1/2)表示规模报酬递增。因为当输入要素的比例发生变化时，产出的增加速度大于输入要素的增加速度。也就是说，当劳动力和资本的投入增加时，产出的增加速度会更快，因此产量的增长率会增加。(2) 长期生产函数Q=2L^2+2LK-4K^2表示规模报酬递减。因为当输入要素的比例发生变化时，产出的增加速度小于输入要素的增加速度。也就是说，当劳动力和资本的投入增加时，产出的增加速度会减缓，因此产量的增长率会减少。这是因为，当输入要素的比例失衡时，生产过程中的瓶颈会限制产出的增长，从而导致规模报酬递减。

答：(3) 长期生产函数Q=aL+bK表示规模报酬不变。因为当输入要素的比例发生变化时，产出的增加速度等于输入要素的增加速度。也就是说，当劳动力和资本的投入增加时，产出的增加速度不会改变，因此产量的增长率也不会改变。(4) 长期生产函数Q=AL^aK^b表示规模报酬递增。因为当输入要素的比例发生变化时，产出的增加速度大于输入要素的增加速度。也就是说，当劳动力和资本的投入增加时，产出的增加速度会更快，因此产量的增长率会增加。这是因为，当输入要素的比例合理时，生产过程中的瓶颈会被充分利用，从而导致规模报酬递增。