Question

设函数f(x)在(-1,0)U(0,1)内有定义，如果x=0处极限存在，则下列结论正确的是()A存在正数h,使f(x)在(－h,h)内有界 B存在正数h,使f(x)在(－h,0)U(0,h)内有界

Answer 1

问：设函数f(x)在(-1,0)U(0,1)内有定义，如果x=0处极限存在，则下列结论正确的是()A存在正数h,使f(x)在(－h,h)内有界 B存在正数h,使f(x)在(－h,0)U(0,h)内有界

答：亲亲~您好，很高兴为您解答哈~。根据您的题目：设函数f(x)在(-1,0)U(0,1)内有定义，如果x=0处极限存在，则下列结论正确的答案是：A存在正数h,使f(x)在(－h,h)内有界。

问：那他这个h可以大于1吗

答：h不可以大于1

答：亲，你好 你是在做作业还是考试的呀

答：不能大于1。因为在x=0处极限存在，说明左右极限存在且相等，设极限为L，则有：lim(x→0-) f(x) = L，lim(x→0+) f(x) = L设h>1，则取x=h时，x不在(-1,0)U(0,1)内，因此f(x)未必有定义，因此不能推出极限存在。因此h不能大于1。

问：我在做作业，x不在定义域内为什么整个函数就不能定义了呢

答：还是上面那一题是吗

问：对啊

答：因为在x=0有一个间断点。该函数在定义域内是有定义的，但在x=0处存在间断点，因此需要进行讨论。如果将间断点处的极限作为函数的值，则可以将函数在整个实数轴定义出来，但这并不是唯一的定义方式，也不能代表原本函数的定义。因此，该函数在x=0处的情况对于整个函数的定义是至关重要的。

问：你的意思说如果对定义域外的x赋值会改变整个函数的形式对吗

答：不对。对定义域外的x赋值不会改变整个函数的形式，因为函数已经在(-1,0)U(0,1)内定义好了，定义域外的值并不影响原来的函数形式。

问：由于x=0处极限存在，因此f(x)在x=0的某个邻域内有界。设该邻域为(-δ, δ)，则对于任意x∈(-δ, δ)，有|f(x)|≤M，其中M是某个正数。那么对于任意x∈(-h, h)，其中h=min{δ,1}，我们都有|x|

问：这我问其他博主的，主要这个x+h不懂什么意思，您能解释一下吗

答：你验证过他的答案是对的吗？

答：他这个是对的。由于h可能大于1，因此无法保证在x=0的邻域内函数有界，只能保证在(-h,h)内有界。

答：在这个问题中，x+h是一个新的变量，表示x的值加上一个小的正数h后得到的新的值