Question

已知sin(a+b)=1/2,sin(a-b)=1/3求cos(a+b)和cos(a-b)

Answer 1

问：已知sin(a+b)=1/2,sin(a-b)=1/3求cos(a+b)和cos(a-b)

问：已知sin(a+b)=1/2,sin(a-b)=1/3求cos(a+b)和cos(a-b)的值

答：亲您好，我们可以利用三角函数的和差公式来解决这个问题。首先，根据和差公式，我们有：sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)将已知的sin(a+b)和sin(a-b)代入上面的公式，得到：1/2 = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)1/3 = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)将上面两个式子相加，得到：5/6 = 2sin(a)cos(b)将上面两个式子相减，得到：1/6 = 2cos(a)sin(b)由于sin(a+b) = 1/2，我们可以得到：cos(a+b) = ±√(1 - sin^2(a+b)) = ±√(1 - 1/4) = ±√(3/4) = ±√3/2由于sin(a-b) = 1/3，我们可以得到：cos(a-b) = ±√(1 - sin^2(a-b)) = ±√(1 - 1/9) = ±2√2/3因为cos(a+b)和cos(a-b)都有两个解，所以我们需要更多的信息来确定它们的符号。

答：我们可以利用三角函数的和差角公式来解决这道题目。首先，根据和差角公式，我们有：sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)将已知的sin(a+b)和sin(a-b)代入上式，得到：1/2 = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)1/3 = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)将两式相加，消去sin(b)的项，得到：5/6 = 2sin(a)cos(b)因此，sin(a)cos(b) = 5/12将两式相减，消去cos(b)的项，得到：1/6 = 2cos(a)sin(b)因此，cos(a)sin(b) = 1/12接下来，我们可以利用三角函数的平方和恒等式来求解cos(a+b)和cos(a-b)的值：cos^2(a+b) = 1 - sin^2(a+b) = 1 - 1/4 = 3/4cos^2(a-b) = 1 - sin^2(a-b) = 1 - 1/9 = 8/9

答：因此，cos(a+b) = ±√3/2，cos(a-b) = ±2/3。由于sin(a+b)和sin(a-b)的正负号未知，因此cos(a+b)和cos(a-b)的值也有两种可能。