4计算不定积分(x^2)/(x+1)dx

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摘要要计算不定积分∫(x^2)/(x+1)dx，我们可以使用部分分式分解的方法。以下是详细的步骤：

步骤 1: 部分分式分解

将分式(x^2)/(x+1)进行部分分式分解。假设可以将其表示为A/(x+1) + Bx/(x+1)，其中A和B是待定常数。

(x^2)/(x+1) = A/(x+1) + Bx/(x+1)

步骤 2: 求解A和B

为了确定常数A和B的值，我们可以将等式两边进行通分并进行比较系数。

x^2 = A + Bx

将x=0代入上式，得到：

0^2 = A + B(0)

0 = A

因此，A = 0。

将x=-1代入上式，得到：

(-1)^2 = 0 + B(-1)

1 = -B

因此，B = -1。

步骤 3: 分解完整的分式

将A和B的值代回部分分式分解的等式中：

(x^2)/(x+1) = 0/(x+1) - x/(x+1)

步骤 4: 计算不定积分

现在，我们可以计算不定积分∫(x^2)/(x+1)dx：

∫(x^2)/(x+1)dx = ∫0/(x+1)dx - ∫x/(x+1)dx

第一项 ∫0/(x+1)dx 的积分结果是0，因为分子是常数0。

第二项 ∫x/(x+1)dx 的积分结果为ln|x+1|。

因此，不定积分∫(x^2)/(x+1)dx的结果为：0 - ln|x+1| + C，其中C是积分常数。

咨询记录 · 回答于2024-01-02

4计算不定积分(x^2)/(x+1)dx

要计算不定积分∫(x^2)/(x+1)dx，我们可以使用部分分式分解的方法。以下是详细的步骤：步骤 1: 部分分式分解将分式(x^2)/(x+1)进行部分分式分解。假设可以将其表示为A/(x+1) + Bx/(x+1)，其中A和B是待定常数。 (x^2)/(x+1) = A/(x+1) + Bx/(x+1) 步骤 2: 求解A和B 为了确定常数A和B的值，我们可以将等式两边进行通分并进行比较系数。 x^2 = A + Bx 将x=0代入上式，得到： 0^2 = A + B(0) 0 = A 因此，A = 0。将x=-1代入上式，得到： (-1)^2 = 0 + B(-1) 1 = -B 因此，B = -1。步骤 3: 分解完整的分式将A和B的值代回部分分式分解的等式中： (x^2)/(x+1) = 0/(x+1) - x/(x+1) 步骤 4: 计算不定积分现在，我们可以计算不定积分∫(x^2)/(x+1)dx： ∫(x^2)/(x+1)dx = ∫0/(x+1)dx - ∫x/(x+1)dx 第一项 ∫0/(x+1)dx 的积分结果是0，因为分子是常数0。第二项 ∫x/(x+1)dx 的积分结果为ln|x+1|。因此，不定积分∫(x^2)/(x+1)dx的结果为：0 - ln|x+1| + C，其中C是积分常数。

第二项 ∫x/(x+1)dx 的积分可以使用常规积分规则进行计算： ∫x/(x+1)dx = ∫(x+1-1)/(x+1)dx = ∫(x+1)/(x+1)dx - ∫1/(x+1)dx = ∫dx - ln|x+1| + C = x - ln|x+1| + C 因此，不定积分 ∫(x^2)/(x+1)dx 的结果是 x - ln|x+1| + C，其中C是常数。

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