设d为圆环域+x²+y²≤2x+2y,则∫∫xydxdy=
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亲，您好哈。
很高兴为您解答这个问题：首先需要确定积分的区域，即圆环域+d。可以将圆环域表示为两个圆形域相减得到：d={(x,y)|1≤x²+y²≤2x+2y}={(x,y)|1≤(x-1)²+(y-1)²≤2}。接下来代入被积函数 f(x,y)=xy，进行极坐标变换：令 x=r cosθ, y=r sinθ，则：x-1=r cosθ-1, y-1=r sinθ-1由此可得：(x-1)²+(y-1)²=r²-2r(cosθ+sinθ)+2因为 1≤(x-1)²+(y-1)²≤2，所以 1≤r²-2r(cosθ+sinθ)+2≤2，即 -cosθ-sinθ+2≤r≤cosθ+sinθ。又因为圆环域在第一象限内，所以 θ∈[0,π/2]。因此，原积分可化为极坐标下的积分：∫∫xydxdy=∫π/20∫cosθ+sinθ2cosθ+sinθ−cosθ−sinθ2cosθ+sinθr³cosθsinθdrdθ对 r 求积分得：∫cosθ+sinθ−cosθ−sinθ2cosθ+sinθr³cosθsinθdr=((cosθ+sinθ)³−(cosθ−sinθ)³)/6(cosθ+sinθ)将其代入对 θ 求积分得：∫π/20((cosθ+sinθ)³−(cosθ−sinθ)³)/6(cosθ+sinθ)dθ=π/12因此，原积分结果为 π/12。
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咨询记录 · 回答于2023-06-13
设d为圆环域+x²+y²≤2x+2y,则∫∫xydxdy=
亲，您好哈。很高兴为您解答这个问题：首先需要确定积分的区域，即圆环域+d。可以将圆环域表示为两个圆形域相减得到：d={(x,y)|1≤x²+y²≤2x+2y}={(x,y)|1≤(x-1)²+(y-1)²≤2}。接下来代入被积函数 f(x,y)=xy，进行极坐标变换：令 x=r cosθ, y=r sinθ，则：x-1=r cosθ-1, y-1=r sinθ-1由此可得：(x-1)²+(y-1)²=r²-2r(cosθ+sinθ)+2因为 1≤(x-1)²+(y-1)²≤2，所以 1≤r²-2r(cosθ+sinθ)+2≤2，即 -cosθ-sinθ+2≤r≤cosθ+sinθ。又因为圆环域在第一象限内，所以 θ∈[0,π/2]。因此，原积分可化为极坐标下的积分：∫∫xydxdy=∫π/20∫cosθ+sinθ2cosθ+sinθ−cosθ−sinθ2cosθ+sinθr³cosθsinθdrdθ对 r 求积分得：∫cosθ+sinθ−cosθ−sinθ2cosθ+sinθr³cosθsinθdr=((cosθ+sinθ)³−(cosθ−sinθ)³)/6(cosθ+sinθ)将其代入对 θ 求积分得：∫π/20((cosθ+sinθ)³−(cosθ−sinθ)³)/6(cosθ+sinθ)dθ=π/12因此，原积分结果为 π/12。
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设d为圆环域x²+y²≤2x+2y,则∫∫xydxdy=
我在心里x²前面错加了一个+，对不起
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