Question

在平面四边形abcd中,ab垂直bc ac垂直cd ab=bc=cd 若AC=xAB+yAD 求x+y

Answer 1

问：在平面四边形abcd中,ab垂直bc ac垂直cd ab=bc=cd 若AC=xAB+yAD 求x+y

答：您好，很高兴为您解答:根据题目给出的条件，我肢伏答们厅启可以得历慧到以下图示： D ______ C | | y |______| | | |___x__| A B

问：AC向量等于x倍的AB向量+y倍的AD向量

答：根据题目中的描述，可以得到以下伏兄关系：由于 ab 垂直 bc，所以 ∠ABC=90°。由于 ac 垂直 cd，所以缺哗袭 ∠ACD=90°。ab=bc=cd。现在我们要求 x+y，则需要利用这些已知条件进行推导。由于 ab 垂直 bc，因此 △ABC 是一个直角三角形。考虑到 bc=cd，所以 △BCD 也是一个直角三角形。因此，根据勾股定理，有：AB² + BC² = AC²AD² + DC² = AC²根据 ab=bc=cd 的条件，可列出方程组：AB + BC = CDAB + AD = BC将 AB + BC = CD 归纳为 AB + BC + (-1)×CD = 0，然后将 AB + AD = BC 归纳为 AB + AD + (-1)×BC = 0，最后把方程组进行芦闭加减消元，并整理得：2×AB + (-1)×BC + (-1)×AD = 02×AB = BC + AD由此推导得：AB = (BC+AD)/2根据题意 AC=xAB+yAD，代入上式可以得到：AC = x((BC+AD)/2) + yADAC = (x/2)×(BC+AD) + yAD由于 BC=CD，所以将 BC+AD 替换为 CD+AD，得到：AC = (x/2)×(CD+AD) + yADAC = x/2 × CD + (x/2 + y) × AD根据题目给出的条件，我们知道 AC=xAB+yAD，将其代入上式可以得到：AC = x/2

问：题目改为AC向量等于x倍的AB向量+y倍的AD向量

答：根据题意可知，平面四边形 ABCD 是一个长方形，且 AB 垂直 BC，AC 垂直 CD。又已知 AB = BC = CD。设 AB 向量为 a，AD 向量为 b，则 AC 向量可以表示为：AC = x * AB + y * AD即 AC = x * a + y * b由于 AB 垂直 BC，且 AB = BC，所以 a 和 b 可以相互垂直且长度相等。那么我们可以认为 a 和 b 分别是坐标系中的单位向量 i 和 j。根据题意陆段键可知 AC = xAB + yAD = (x * a) + (y * b) = x * i + y * j由于长方形 ABCD 是一个平行四边形，对角线互相平分，所以 AC 和 BD 的交点是平行四边形的中心 O。设 O 的坐标为早巧 (0, 0)，则有：AC 的坐标为 (x, y)BD 的坐标为 (-x, -y)根据向量加法和减法，可得：AC + BD = (x, y) + (-x, -y) = (x - x, y - y) = (0, 0)这意味着 AC 与 BD 具有相同的位移，燃御即 AC 和 BD 在空间上重合。根据题意可知 AC = CD，所以 CD 与 AC 也具有相同的位移，即 CD 与 AC 在空间上重合。