Question

1.已知x,y均为正实数,求 1/(x+3y)+x/(8y+4)+9y/(2x+3) 的最小值.

Answer 1

问：1.已知x,y均为正实数,求 1/(x+3y)+x/(8y+4)+9y/(2x+3) 的最小值.

答：你好,由于x、y均为正实数，那么x+3y、8y+4、2x+3均大于0，即这些数的倒数也都大于0。根据均值不等式，有：(1/(x+3y)) + (x/(8y+4)) + (9y/(2x+3)) >=3√[(1/(x+3y))(x/(8y+4))(9y/(2x+3))]接下来，我们要证明3√[(1/(x+3y))(x/(8y+4))(9y/(2x+3))]的最小值等于1。根据乘积的分数能够被包含于他们的和的分数中的性质，我们有：(1/(x+3y)) + (x/(8y+4)) + (9y/(2x+3)) >= 3/√[(x+3y)(8y+4)(2x+3)]接着，我们要证明3/√[(x+3y)(8y+4)(2x+3)]的最小值等于1。显然，(x+3y)(8y+4)(2x+3)的值越小，3/√[(x+3y)(8y+4)(2x+3)]越大。所以，我们只需要让(x+3y)(8y+4)(2x+3)的值最小即可。根据均值不等式，有：(x+3y) + (8y+4) + (2x+3) >= 3√[(x+3y)(8y+4)(2x+3)]即：(3x+3y+8y+4+2x+3) >= 3√[(x+3y)(8y+4)(2x+3)]化简得：5x + 11y + 7 >= 3√[(x+3y)(8y+4)(2x+3)]所以，得出结论：1/(x+3y)+x/(8y+4)+9y/(2x+3) 的最小值为1，当且仅当x+3y+8y+4+2x+3=5x+11y+7时，即x=1/2，y=1/3。