14.设A是正定实对称矩阵,证明 A^(-1) 也是正定实对称矩阵.
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亲，你好
！为您找寻的答案：首先，我们知道正定实对称矩阵A满足以下两个条件：A是实对称矩阵，即A的转置等于自身：A^T = A。对于任意非零实向量x，都有x^T A x > 0，其中x^T表示x的转置。我们需要证明A^(-1)也满足上述两个件。首先，我们证明A^(-1)是实对称矩阵。根据矩阵的性质，如果A是实对称矩阵，则A^T也是实对称矩阵。而A^(-1)是A的逆矩阵，根据逆矩阵的性质，(A^(-1))^T = (A^T)^(-1)。因此，我们有：(A^(-1))^T = (A^T)^(-1) = A^(-1)。这表明A^(-1)是实对称矩阵。
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咨询记录 · 回答于2023-07-09
14.设A是正定实对称矩阵,证明 A^(-1) 也是正定实对称矩阵.
亲，你好！为您找寻的答案：首先，我们知道正定实对称矩阵A满足以下两个条件：A是实对称矩阵，即A的转置等于自身：A^T = A。对于任意非零实向量x，都有x^T A x > 0，其中x^T表示x的转置。我们需要证明A^(-1)也满足上述两个件。首先，我们证明A^(-1)是实对称矩阵。根据矩阵的性质，如果A是实对称矩阵，则A^T也是实对称矩阵。而A^(-1)是A的逆矩阵，根据逆矩阵的性质，(A^(-1))^T = (A^T)^(-1)。因此，我们有：(A^(-1))^T = (A^T)^(-1) = A^(-1)。这表明A^(-1)是实对称矩阵。
！为您找寻的答案：首先，我们知道正定实对称矩阵A满足以下两个条件：A是实对称矩阵，即A的转置等于自身：A^T = A。对于任意非零实向量x，都有x^T A x > 0，其中x^T表示x的转置。我们需要证明A^(-1)也满足上述两个件。首先，我们证明A^(-1)是实对称矩阵。根据矩阵的性质，如果A是实对称矩阵，则A^T也是实对称矩阵。而A^(-1)是A的逆矩阵，根据逆矩阵的性质，(A^(-1))^T = (A^T)^(-1)。因此，我们有：(A^(-1))^T = (A^T)^(-1) = A^(-1)。这表明A^(-1)是实对称矩阵。
亲，你好！为您找寻的答案：接下来，我们证明对于任意非零实向量x，有x^T A^(-1) x > 0。我们可以将A的正定性写成x^T A x > 0，然后将其两边同时乘以A^(-1)，得到：x^T A x > 0x^T A^(-1) A x > 0x^T (A^(-1) A) x > 0由于矩阵乘法满足结合律，我们有A^(-1) A = I，其中I是单位矩阵。所以上式可以简化为：x^T I x > 0x^T x > 0这表明对于任意非零实向量x，都有x^T A^(-1) x > 0。因此，A^(-1)也是正定实对称矩阵。综上所述，证明了如果A是正定实对称矩阵，则A^(-1)也是正定实对称矩阵。
！为您找寻的答案：接下来，我们证明对于任意非零实向量x，有x^T A^(-1) x > 0。我们可以将A的正定性写成x^T A x > 0，然后将其两边同时乘以A^(-1)，得到：x^T A x > 0x^T A^(-1) A x > 0x^T (A^(-1) A) x > 0由于矩阵乘法满足结合律，我们有A^(-1) A = I，其中I是单位矩阵。所以上式可以简化为：x^T I x > 0x^T x > 0这表明对于任意非零实向量x，都有x^T A^(-1) x > 0。因此，A^(-1)也是正定实对称矩阵。综上所述，证明了如果A是正定实对称矩阵，则A^(-1)也是正定实对称矩阵。
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