三角形ABC内接于圆O，AC是圆O的直径，点D作圆的切线BA的延长线于点E，连接BD，若BD=7倍根号3，角E=75度，则圆的直径是
1个回答
关注
![]()
展开全部
亲亲，非常荣幸为您解答
首先可以得出 $\angle BDC = \angle BAC = 90^{\circ}$，所以 $\triangle BDC$ 是直角三角形。因为 $BD = 7\sqrt{3}$，所以$$DC = AC - AD = AC - AB = AC - AO = r - \frac{r}{2} = \frac{r}{2}.$$又因为 $\angle DCB = 75^{\circ}$，所以 $\angle BCD = 105^{\circ}$，由正弦定理可得$$\frac{BD}{\sin \angle BCD} = \frac{DC}{\sin \angle BDC},$$即$$\frac{7\sqrt{3}}{\sin 105^{\circ}} = \frac{r/2}{1},$$解得 $r = 14\sqrt{2}$，因此圆的直径为 $2r = 28\sqrt{2}$。
首先可以得出 $\angle BDC = \angle BAC = 90^{\circ}$，所以 $\triangle BDC$ 是直角三角形。因为 $BD = 7\sqrt{3}$，所以$$DC = AC - AD = AC - AB = AC - AO = r - \frac{r}{2} = \frac{r}{2}.$$又因为 $\angle DCB = 75^{\circ}$，所以 $\angle BCD = 105^{\circ}$，由正弦定理可得$$\frac{BD}{\sin \angle BCD} = \frac{DC}{\sin \angle BDC},$$即$$\frac{7\sqrt{3}}{\sin 105^{\circ}} = \frac{r/2}{1},$$解得 $r = 14\sqrt{2}$，因此圆的直径为 $2r = 28\sqrt{2}$。
咨询记录 · 回答于2023-04-26
三角形ABC内接于圆O，AC是圆O的直径，点D作圆的切线BA的延长线于点E，连接BD，若BD=7倍根号3，角E=75度，则圆的直径是
亲亲，非常荣幸为您解答首先可以得出 $\angle BDC = \angle BAC = 90^{\circ}$，所以 $\triangle BDC$ 是直角三角形。因为 $BD = 7\sqrt{3}$，所以$$DC = AC - AD = AC - AB = AC - AO = r - \frac{r}{2} = \frac{r}{2}.$$又因为 $\angle DCB = 75^{\circ}$，所以 $\angle BCD = 105^{\circ}$，由正弦定理可得$$\frac{BD}{\sin \angle BCD} = \frac{DC}{\sin \angle BDC},$$即$$\frac{7\sqrt{3}}{\sin 105^{\circ}} = \frac{r/2}{1},$$解得 $r = 14\sqrt{2}$，因此圆的直径为 $2r = 28\sqrt{2}$。
首先可以得出 $\angle BDC = \angle BAC = 90^{\circ}$，所以 $\triangle BDC$ 是直角三角形。因为 $BD = 7\sqrt{3}$，所以$$DC = AC - AD = AC - AB = AC - AO = r - \frac{r}{2} = \frac{r}{2}.$$又因为 $\angle DCB = 75^{\circ}$，所以 $\angle BCD = 105^{\circ}$，由正弦定理可得$$\frac{BD}{\sin \angle BCD} = \frac{DC}{\sin \angle BDC},$$即$$\frac{7\sqrt{3}}{\sin 105^{\circ}} = \frac{r/2}{1},$$解得 $r = 14\sqrt{2}$，因此圆的直径为 $2r = 28\sqrt{2}$。
相关拓展：这里给出一些和这道题相关的拓展问题。1. 若三角形 ABC 内接于圆 O，且 $\angle BAC = 120^{\circ}$，BD 是圆 O 的切线，DE ⊥ AC 于 E，证明：$\angle ABE = \angle CBE$。2. 若三角形 ABC 内接于圆 O，且 AB = AC，D 是圆 O 的切点，DE ⊥ AC 于 E，证明：$\angle ADE = \angle ABC$。3. 若三角形 ABC 内接于圆 O，且 BD 是圆 O 的切线，DE ⊥ AC 于 E，证明：$\angle ADE = \angle BCE$。注：这里假设读者已经掌握了圆的切线、切点、切角等基础知识。
谢谢您
这边不支持看图片噢亲亲
首先，连接CE并延长交BD于点F，则CF为圆的直径。由于AC是圆O的直径，所以∠ABC = 90°。同时，由于三角形ABC内接于圆O，根据圆周角定理可知，∠BAC = ∠BCA = 90°，因此三角形ABC是等腰直角三角形。由于∠E = 75°，所以∠BDE = 105°，又因为∠BED = 180° - ∠BCD = 180° - 2∠ABD = 60°（其中用到了余角定理和切线定理），因此三角形BDE也是等腰三角形，且∠BED = 60°。由于三角形BDE是等腰三角形，所以∠DBE = ∠DEB = (180° - ∠BED)/2 = 60°/2 = 30°。又因为∠ABC = 90°，所以∠EBD = 90° - ∠DBE = 90° - 30° = 60°。最后，再根据正弦定理得到：BD/sin∠EBD = DE/sin∠BED代入已知条件可得：7√3/sin60° = DE/sin75°解得：DE = 21又因为DF = FC，所以BD + DE + EF + FC = BD + DF + CF = BC = AC = 2BD代入已知条件可得：
7√3 + 21 + EF + FC = 2×7√3解得：EF + FC = 7√3 - 21最后，根据余弦定理得到：(7√3/2)² = (FC + EF)² + (7√3)²/4 - 2×(7√3)/2×(FC + EF)×(7√3)/2代入已知条件可得：(7√3/2)² = (7√3 - 21)² + (7√3)²/4 - 2×(7√3)/2×(7√3 - 21)×(7√3)/2解得：FC + EF = 7√3/2因此，圆的直径为：FC + EF + AC = 7√3/2 + 2×BD = 7√3/2 + 14√3 = 21√3
因为这边看不了图片
谢谢您
没有关系哦亲亲
已赞过
评论
收起
你对这个回答的评价是？
